Аксиоматика векторного пространства
Другие рефераты
Глава 1
§1. Аксиоматика векторного пространства
Характеризация векторного пространства, как математической структуры
осуществляются рядом аксиом.
Основные понятия теории: "вектор", "сумма двух векторов",
"произведение вектора на действительное число".
Косвенным определением основных понятий теории векторного
пространства являются следующие аксиомы:
I. Для любых векторов [pic] и [pic]существует единственный третий
вектор [pic], называемый их суммой
[pic]
Таким образом аксиома I постулирует:
а) единственность этой суммы.
б) существование суммы двух векторов [pic] и [pic];
Данная аксиома вводит на множестве векторов V операцию
f1: V x V ( V.
которая называется сложением двух векторов.
II. Сложение векторов коммутативно, т.е.
[pic].
III. Сложение векторов ассоциативно, т.е.
[pic] [pic]
IV. Существует вектор [pic] такой, что [pic] для любого вектора,
[pic] т.е.
[pic] [pic]
Определение 1.1. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме IV, называется
нулевым вектором и обозначается [pic]
V. Для каждого вектора [pic] существует такой вектор [pic], что
[pic]+[pic]=[pic] [pic][pic]
Определение 1.2. Вектор [pic], удовлетворяющий аксиоме V, называется
противоположным вектору [pic].
VI. Для любого вектора [pic] и действительно числа [pic], существует
единственный вектор [pic], называемый произведением вектора [pic] на число
[pic] и обозначаемый т.о.: [pic], т.е.
[pic], [pic], [pic]
Данная аксиома вводит операция нового типа (внешнюю операцию):
[pic]
Эта операция носит название «умножение вектора на число».
VII. Для любого вектора [pic] умножение вектора [pic] на 1 не
изменяет вектора [pic], т.е.
[pic], [pic]
VIII. Умножение вектора на число ассоциативно, т.е.
[pic], [pic], [pic]
IX. Умножение вектора на число дистрибутивно сложения чисел, т.е.
[pic], [pic], [pic]
X. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения
векторов, т.е.
[pic], [pic], [pic]
Этим заканчивается аксиоматика векторного пространства, которое можно
теперь определить т.о.:
множество V с введенными двумя операциями
[pic]
[pic],
подчиняющееся аксиомам I-X, называется векторным пространством над полем
действительных чисел R.
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
