Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка
Данная задача часто возникает на практике при транспортировке или
хранении с горизонтальным расположением оси оболочечные конструкции
устанавливаются на круговые опоры - ложементы. Взаимодействие подкрепленных
оболочечных конструкций и ложементов осуществляется через опорные
шпангоуты, протяженность которых вдоль оси оболочки соизмерима с шириной
ложементов и много меньше радиуса оболочки и величины зоны контакта.
Данная задача решалась методом конечных элементов при помощи системы
FORL [5]. Дискретная модель ложемента (в трехмерной постановке)
представлена на Рис. 5.
При построении данной КЭ-модели было использовано 880 узлов и 2016 КЭ в
форме тетраэдра. Полный размер матрицы жесткости для такой задачи
составляет [pic] байт, что приблизительно равно 2,7 Мбайт оперативной
памяти. Размер упакованного представления составил около 315 Кбайт.
Данная задача решалась на ЭВМ с процессором Pentium 166 и 32 МБ ОЗУ
двумя способами – методом Гаусса и методом Ланцоша. Сопоставление
результатов решения приведено в Таблице 1.
Таблица 1.
| |Время |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
| |решения | | | | | | |
| |(сек) | | | | | | |
|Метод |280 |2.2101 |-2.460|1.3756 |-5.2501|1.7406 |-2.3489|
|Гаусса | | |8 | | | | |
|Метод |150 |2.2137 |-2.466|1.3904 |-5.2572|1.7433 |-2.3883|
|Ланцоша | | |9 | | | | |
Из Таблицы 1 легко видеть, что результаты решения СЛАУ методом Гаусса и
методом Ланцоша хорошо согласуются между собой, при этом время решения
вторым способом почти в два раза меньше, чем в случае использования метода
Гаусса.
ВЫВОДЫ.
В данной работе были рассмотрены способы компактного хранения матрицы
коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и методы ее
решения. Разработан алгоритм компактного хранения матрицы жесткости,
позволяющий в несколько раз (иногда более чем в десятки раз) сократить
объем требуемой памяти для хранения такой матрицы жесткости.
Классические методы хранения, учитывающие симметричную и ленточную
структуру матриц жесткости, возникающих при применении метода конечных
элементов (МКЭ), как правило, не применимы при решении контактных задач,
так как при их решении матрицы жесткости нескольких тел объединяются в одну
общую матрицу, ширина ленты которой может стремиться к порядку системы.
Предложенная в работе методика компактного хранения матриц
коэффициентов СЛАУ и использования метода Ланцоша позволили на примере
решения контактных задач добиться существенной экономии процессорного
времени и затрат оперативной памяти.
СПИСОК ССЫЛОК.
1. Зенкевич О., Морган К. Конечные методы и аппроксимация // М.: Мир,
1980
2. Зенкевич О., Метод конечных элементов // М.: Мир., 1975
3. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов // М.: Мир,
1977
4. Бахвалов Н.С.,Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы // М.:
наука, 1987
5. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления // М.:Наука, 1984
6. Бахвалов Н.С. Численные методы // М.: Наука, 1975
7. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений // Новосибирск:
Наука, 1980
8. Гоменюк С.И., Толок В.А. Инструментальная система анализа задач
механики деформируемого твердого тела // Приднiпровський науковий
вiсник – 1997. – №4.
9. F.G. Gustavson, “Some basic techniques for solving sparse matrix
algorithms”, // editer by D.J. Rose and R.A.Willoughby, Plenum
Press, New York, 1972
10. А.Джордж, Дж. Лиу, Численное решение больших разреженных систем
уравнений // Москва, Мир, 1984
11. D.J. Rose, “A graph theoretic study of the numerical solution of
sparse positive definite system of linear equations” // New York,
Academic Press, 1972
12. Мосаковский В.И., Гудрамович В.С., Макеев Е.М., Контактные задачи
теории оболочек и стержней // М.:”Машиностроение”, 1978
| |  скачать работу |
Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка |
