Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Апории Зенона и первая теоретическая постановка проблемы бесконечности

яд чисел, не
опираясь ни на что. На самом же деле вместо абстракции «ничто» при таких
построениях используются знаки Ш, {Ш}, {Ш, {Ш}} и так далее, то есть
опять-таки совершается подмена несуществующего объекта мысли («Ш»)
вполне материальными символами, реализующими «тайну» построения
натурального ряда из «ничего».

   В тесной связи с рассмотренной апорией находится и метрическая апория
Зенона, то есть апория, связанная с размерами объекта, конструируемого
из «ничего». Аристотель писал об этом: «Если что-нибудь, будучи
прибавлено к какой-нибудь вещи или отнято от нее, не делает эту вещь
больше, соответственно меньше, тогда, по словам Зенона, оно не
принадлежит к числу существующего, причем существующая, очевидно,
понимается как величина телесная: ведь именно такая величина обладает
бытием в полной мере… точка же и 1(0) не создадут увеличения ни при
каких обстоятельствах».
«Данная апория, - пишет Ю.А. Петров, - вскрывала трудности, связанные с
представлением конечного тела в виде бесконечной совокупности неделимых.
Эти неделимые в свою очередь представлялись не имеющими измерений
точками. Их сумма полагалась равной нулю, из чего следовало, что тело,
имеющее измерение, лишено измерения. Если же неделимые представлялись
имеющими измерение, то тело большим по величине. В обоих случаях
получались противоречия».
      Перед нами действительно одна из труднейших апорий, нерешенных и
поныне, ибо связана она с представлением о протяженном теле или отрезке
времени, составленных по предположению, из не имеющих соответственно
протяжения или длительности «точек» и «мгновений».


2.1.4. «Взгляд со стороны». Суждения мыслителей.

Ещё со времен Евклида философы и математики сомневались в справедливости
понимания протяженного континуума как совокупности непротяженных
элементов. Этим вопросом, кроме Зенона, уделяли внимание такие
мыслители, как Аристотель, Кавальери, Текет, Паскаль, Больцано, Лейбниц,
Кантор, У. Джеймс, Бриджмен и другие. Так, например, Бриджмен, писал:
«если бы линию понимали так, что она буквально состоит из совокупности
точек нулевой длины, а интервал времени представляет собою сумму
неделящихся мгновений, тогда уже само это понимание было бы
парадоксальным».
      Однако в последнее время предпринимаются попытки доказать
возможность получения, например, протяженного отрезка из непротяженных
точек. Так,
А. Грюнбаум считает, что современная теория точечных множеств позволяет
«преодолеть противоречивый характер утверждений о том, что положительный
линейный интервал состоит из непротяженных элементов - точек». Эти
толкования не в состоянии помочь А. Грюнбауму избежать основной
трудности – доказать возможность получения протяженной длины из
непротяженных каких бы то ни было объектов, ибо не столь важно, какова
их конкретная природа или названия, но важно то, что они не обладают
протяженностью.
        На аналогичных позициях находился и Б. Рассел, считавший точку и
момент объектами, не имеющими измерений. Однако, по его мнению, из
бесконечного континуального множества этих объектов состоят реальное
пространство и время. Б. Рассел утверждал, что если отбросить идеи об
актуально бесконечных малых, трудности бесконечности и непрерывности,
дескать, исчезают, а «… аргументы Зенона, в большинстве своем веские, не
поднимают серьезных затруднений».
            Оценивая подобного рода подходы к решению обсуждаемой апории
Зенона, С. Яновская, на мой взгляд, правильно подчеркивала, что «таким
образом отнюдь не решаются гносеологические трудности, связанные с
неконструктивностью «построения» протяженных объектов в виде актуально-
бесконечных (к тому же еще и несчетных) множеств непротяженных
элементов». Некорректность подобных решений анализируемой апории должна
быть ясна из того, что суммирование какого угодно множества не
обладающих протяженностью точек не дает нам хоть какой-нибудь минимально
протяженной величины: «Ведь сколько раз ни повторять ничто, ничего и не
получится». Однако, если располагать актуально бесконечными малыми, но
реальными протяженными какими-то квантами пространственно-временного
типа, то, опираясь на движение и свойство отражения объектов, можно
получить сколь угодно протяженные конечные тела.


2.1.5. Понимание меры множества в современной математике.

        Данная апория показала, что нельзя определить меру отрезка как
сумму мер «неделимых», что понятие меры множества вовсе не является чем-
то очевидно заключенным в самом понятии множества и что мера множества,
вообще говоря, не равна сумме мер его элементов. Теперь мы определяем
меру множества при помощи покрытий его системами интервалов, причем
понимается, что интервалы уже имеют определенную длину (меру).
      Затронутые нами проблемы прерывности и непрерывности, конечного и
бесконечного, пространства и времени при анализе зеноновской метрической
апории (создание протяженного тела из непротяженных точек)
непосредственным образом примыкают к кругу вопросов, связанных с
апориями движения, также сформулированными знаменитым элейцем. Этих
апорий четыре: «Дихотомия» и «Ахиллес» затрагивают трудности понимания
движения при предположении неограниченной делимости пути и времени, а
«Стрела» и «Стадий» выражают затруднения при обратных предположениях, то
есть при допущении неделимых элементов пути и времени (проблема квантов
пространства и времени).



2.2. Апории относительно движения.


       Аргументы о движении известны нам только по краткому разбору их
Аристотелем в «Физике» и комментариям Симплиция, Филопона и Фемистия.
Симплиций утверждает, что он имел в своем распоряжении сочинение Зенона,
и его комментарии относительно множества подтверждают это. Но
комментарии о движении, хотя по некоторым замечаниям очевидно, что он
знал и эту часть сочинения, не содержат ничего нового, отличного от
Аристотеля, возможно, из-за общепризнанной трудности этих аргументов.
Филопон и Фемистий тоже лишь повторяют аристотелевские суждения.

2.2.2. Апория «Дихотомия».


      2.2.2.1. Формулировка апории.

            Пусть АВ – отрезок длины 1 и точка М движется из А в В.
Прежде чем дойти до В, она должна «отсчитать» бесконечное множество
«середин» А1 , А2, … , Аn , … ;  значит, точка В никогда не будет
достигнута. Движущееся тело никогда не достигнет конца пути, потому что
оно должно сначала дойти до середины пути, затем до середины остатка
пути и так далее.

      2.2.2.2. Соображения античных математиков.

            Гегель дает следующий комментарий аргументам Зенона: «Зенон
здесь указывает на бесконечную делимость пространства: так как
пространство и время абсолютно непрерывны, то нигде нельзя остановиться
с делением… Движение оказывается прохождением этого бесконечного
количества моментов; оно поэтому никогда не кончается, движущееся,
следовательно, не может дойти до своего конечного пункта».
            Аналогичные соображения можно найти и у Аристотеля. Гегель
справедливо отмечает, что уже Аристотель наметил правильный путь решения
данной апории Зенона, обратив внимание на то, что пространство и время
не актуально разделены бесконечным образом, а лишь потенциально делимы
до бесконечности. На эту важную мысль Аристотеля обратил внимание В.И.
Ленин, конспектируя «Историю философии» Гегеля: «Движущийся к цели
должен сначала пройти половину пути к ней. А от этой половины сначала её
половину и так далее без конца.
        Аристотель ответил: пространство и время бесконечно делимы (в
возможности)… но не бесконечно разделены (в действительности)…»
        Развивая идею Аристотеля о непрерывности как непрерывной
делимости, а не актуализированной разделенности, Гегель писал:
«Делимость как возможность есть всеобщее, в ней положены как
непрерывность, так и отрицательность, или точка, но положены как
моменты, а не как сами по себе». Гегель, стало быть, рассматривает
делимость как возможность деления.

      2.2.2.3. Логическая несостоятельность вывода Зенона.

        Один из математических вопросов, связанных с данной апорией,
состоит в следующем: допустимо ли пользоваться актуальной
бесконечностью, допустимо ли, например, рассматривать весь натуральный
ряд уже построенным и ввести некоторое новое, трансфинитное число,
следующее за всеми натуральными?
        Теория множеств Г. Кантора (70-е гг. XIX века) отвечает на этот
вопрос положительно. Кантор определяет порядковые трансфинитные числа.
Если воспользоваться ими, можно сказать, что точка М достигает А1 в
момент t1, А2 - в момент t2 , … , Аn - в момент tn , а точка В - в
момент t? , где ? – первое число, следующее за всем натуральным рядом.
Заметим, что Р. Бэр с помощью точно такой же конструкции ввел первый
трансфинит ?, который и является порядковым типом множества натуральных
чисел. Однако с введением теории множеств затруднения, связанные с
актуальной бесконечностью, вовсе не были преодолены. Они приняли только
другую форму и вновь выступили в виде парадоксов теории множеств. В
одном из них, так называемом парадоксе Бурали-Форти, рассматривается
порядковый тип множества всех порядковых типов. Приписывание ему
порядкового номера приводит к противоречию. В настоящее время существует
точка зрения, согласно которой свободное оперируемое с актуально
бесконечными множествами, даже счетными, неправомерно.


2.2.3. Апория «Стадий» («Стадион»).


            2.2.3.1. Формулировка апории.

            Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные
массы с равной скоростью, но в противоположных напра
1234
скачать работу

Апории Зенона и первая теоретическая постановка проблемы бесконечности

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ