Геометрия
С, лежащая на оси АВ (положительное направление от А
к В), которая удовлетворяет условию: а(АС=b(СВ.
А
В
С
рис. 7
Центр тяжести С двух материальных точек (А, а) и (B, b) будет лежать
между А и В, лишь если (массы( а и b одного знака. Если а и b разных
знаков, то С вне отрезка АВ (рис. 7).
Лишь в одном случае центр тяжести материальных точек (А, а) и (B, b) с
различными носителями (А(В) не существует, — именно, когда массы их
противоположны по знаку, но не равны по абсолютной величине (то есть, если
а = -b ( 0). В связи с этим мы будем называть две материальные точки вида
(А, а) и (В, -а) (А(В, а(0) механической парой.
Этот случай можно себе представить как предельный для того случая,
когда а(-b, но а( -b. Если а(-b, а(0, b(0, то можно написать [pic], т.е.
[pic]. Если а ( -b, то а + b ( 0 и, следовательно, АС ( (, то есть точка С
неограниченно удаляется вдоль прямой АВ. Поэтому иногда говорят, что если a
= -b, то центр тяжести двух материальных точек (А, а) и (B, b) (лежит в
бесконечно удалённой точке прямой АВ(.
Оставаясь здесь в рамках элементарной геометрии, мы будем эту фразу
рассматривать как образное выражение того, что центра тяжести в данном
случае нет.
Если одна из двух материальных точек является незагруженной, а «масса»
другой материальной точки отлична от нуля, то их центр тяжести совпадает с
носителем загруженной точки. В связи с этим имеет смысл все незагруженные
точки считать равными, то есть считать, что при любых А и В ( А, 0) ((
(В, 0).
Задача о нахождении центров тяжести двух незагруженных точек является
неопределенной: существует бесконечно много точек, которые можно
рассматривать в качестве центров тяжестей этих двух точек. Мы не будем
останавливаться на рассмотрении этого случая.
Идея барицентрических координат.
[pic]
Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС (рис. 8), который в
дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником Мебиуса. Пусть
р(0 и (Р, р) ( произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого
треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А, В, С такие массы а, b,
с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных
точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Это можно себе
представить следующим образом.
Ясно, что не может быть одновременно РА(( ВС, РВ(( СА, РС(( АВ. Пусть,
для определённости, РА и ВС не параллельны. Соединим Р с А и отметим точку
А1, в которой АР встречает прямую ВС. Подберём три действительных числа а,
b, c так, чтобы
b(BA1 = c(A1C,
a(AP = (b + c)(PA1,
a + b + c = p.
Это всегда возможно сделать. Тогда
(P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c).
Обратно, если возьмём три произвольных действительных числа a, b, c,
причём a + b + c ( 0, то существует вполне определённая материальная точка
(Р, р) такая, что (Р, р) = (A, a) + (B, b) + (C, c).
Таким образом, каждую материальную точку Р((Р, р) на плоскости можно
вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с,
которые надо поместить в вершинах базисного треугольника, чтобы точка Р
оказалась объединением трёх образующихся при этом материальных точек (A,
a), (B, b) и (C, c). Эти три числа называют барицентрическими координатами
материальной точки Р ((барицентр( означает (центр тяжести(): а — первая
барицентрическая координата, b — вторая, с — третья. Понятно, что те же три
числа a, b, c определяют также положение носителя материальной точки Р.
Поэтому эти три числа называют также барицентрическими координатами
(геометрической) точки Р.
Таким образом, выражение (барицентрическими координатами точки Р служат
числа a, b, c( означает только то, что имеет место равенство
(A, a) + (B, b) + (C, c) = (P, p),
где
p = a + b + c.
Если массы трёх материальных точек увеличить (или уменьшить) в одно и
то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится.
Поэтому барицентрическими координатами геометрической точки Р будут также
числа k(a, k(b, k(c, где k — любое действительное число, не равное нулю.
Итак, геометрическая точка Р (в отличие от материальной точки Р) имеет
бесконечно много троек барицентрических координат, причём каждая из этих
троек может быть получена из какой-либо одной тройки (a, b, c) путём
умножения на какую-либо константу k, отличную от нуля.
Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её
барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными).
Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её
продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна
нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья
имеет противоположный знак.
Если точка Р расположена внутри базисного треугольника ABC, то в
качестве её барицентрических координат можно принять площади треугольников
BPC, CPA и APB.
Применение барицентрических координат позволяет внести одно
существенное упрощение в рассуждения, связанное с рассмотрением
материальных точек : рассмотрение любых произвольно расположенных
материальных точек в любом числе сводится к рассмотрению только таких
материальных точек, которые имеют носителями вершины базисного
треугольника.
| |  скачать работу |
Геометрия |
