Исследование электроразрядных эксимерных лазеров
-цепочка с постоянным значением R2. Зная затухание и период колебаний
напряжения на обострителе можно определить L2 и R2 по хорошо известным
формулам. Аналогичным способом эти величины можно получить и по
осциллограмме тока. Следует отметить, что такой способ определения L2 и R2
является приближенным и его точность растет по мере уменьшения отношения
L2/L1. Как показывают результаты приведенных ниже расчетов, при
L2/L1[pic]10 ошибка составляет (10%, при L2/L1[pic]3 ошибка может достигать
уже 30%. Объяснить этот факт можно из простых физических соображений. После
пробоя разрядного промежутка система возбуждения лазера представляет собой
систему из двух связанных LCR-контуров. В обозначениях рис.21 первый контур
образован элементами C1, L1, R1, L2, R2, а второй контур элементами C2, L2,
R2. Коэффициент связи между контурами зависит от величины L2 и R2 (общих
элементов контуров). По мере роста величины L2 коэффициент связи
увеличивается. В результате взаимодействия контуров происходит расщепление
собственной комплексной частоты каждого контура на две. Например,
собственная частота второго контура ?2 расщепляется на ?22=?2+??2 и на
?11=?1+??1 (?1–собственная комплексная частота первого контура, ??1 и ??2 –
частоты смещения). При этом, чем больше величина коэффициента связи тем
больше смещение. Для используемой системы возбуждения, как показывают
расчеты, практически всегда можно пренебречь величиной ??1, но величину ??2
надо учитывать.
Поэтому для более точного определения величин L2 и R2 была
использована следующая система уравнений, описывающая процессы возбуждения
лазера после пробоя межэлектродного промежутка
[pic] (20)
[pic]
[pic] Эта система уравнений решается аналитически стандартными методами
решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
при следующих начальных условиях:
I1(0)=I10; I2(0)=I20; [pic];[pic]; (21)
где U1 и U2 начальные напряжения на накопителе и обострителе, то есть
на момент времени, соответствующий началу разряда через межэлектродный
промежуток.
В результате получаем решения следующего вида:
[pic]
[pic];
[pic] (22)
[pic],
где A и B – амплитуды, [pic]11 и [pic]22 – частоты, ?1, ?2, [pic]1,
[pic]2 – фазы колебаний соответствующих контуров, [pic]11 и [pic]22 –
постоянные затухания, b1,b2 – коэффициенты связи контуров.
Величины [pic]11, [pic]11, [pic]22, [pic]22, b1, b2, [pic]1, [pic]2
определяются только коэффициентами исходной системы уравнений, то есть
зависят от C1, L1, R1, C2, L2, и R2. Они связаны с введенными ранее
комплексными частотами следующим образом: ?11=+[pic]11+i[pic]11;
?22=[pic]22+i[pic]22. Величины в решении (22) A, B, [pic]1, [pic]2, зависят
не только от коэффициентов исходной системы уравнений (1), но в первую
очередь от начальных условий (21).
По величине тока и начальным условиям легко определить напряжения на
емкостях С1 и С2, то есть U1(t) и U2(t) соответственно. Если начальные
условия взяты из эксперимента, то расчетные осциллограммы будут зависеть от
двух неизвестных величин: R2 и L2. Варьируя значения R2 и L2 можно добиться
соответствия расчетных осциллограмм экспериментальным. Такой способ
позволяет точно определять значения R2 и L2 при любых соотношениях между
параметрами первого и второго контура, но является весьма трудоемким.
Упрощение можно достигнуть, считая индуктивность L1>> L2, причем в
начальный момент времени напряжение на обострительной емкости максимально и
I1(0)=I2(0)=0.
Тогда в решении (22) коэффициент В>>A; при условии, что ?22[pic]?2;
[pic]22[pic][pic]2; (здесь [pic]2 и ?2 соответственно частота и затухание
колебаний во втором контуре, если его считать изолированным). В этом случае
как расчетная (см. рис. 8), так и экспериментальная осциллограммы тока
описываются выражением
I2(t)= Bexp(-[pic]2t)cos([pic]2t +[pic]2+[pic]2)
(23)
Из данной осциллограммы величины R2 и L2 легко определяются по
стандартным формулам для C2L2R2-цепочки.
Следует отметить, что предложенная методика определения R2 и L2 имеет
существенный недостаток. В реальном разряде через межэлектродный промежуток
сопротивление R2 зависит от времени. В процессе пробоя величина R2 меняется
от сотен мегаом до сотых долей ома. Однако на квазистационарной стадии
разряда R2 можно считать постоянным. Длительность квазистационарной стадии
можно оценить по осциллограмме импульса генерации лазера. При этом способ
определения L2 и R2 сводится к следующему. Из участка осциллограммы тока
I2(t) или напряжения U2(t) (см. рис.22) определяем период колебаний,
который соответствует дуговой стадии разряда. Пренебрегая сопротивлением
разряда, из выражения для периода колебаний T=[pic] легко найти
индуктивность L2. Затем по участку осциллограммы соответствующей
квазистационарной стадии разряда нетрудно определить и величину R2.
Из вышеизложенного следует, что расчетные осциллограммы не могут
описывать процесс нарастания тока I2(t) в интервале времени от момента
достижения пробойного напряжения на обострителе до момента максимального
значения напряжения, когда I1(t)= I2(t). Для того, чтобы сделать это была
предложена следующая модель. В системе уравнений, описывающих LC-контур,
величина сопротивления межэлектродного промежутка R2 считается зависящей от
времени. Тогда чтобы замкнуть систему уравнений вводится дополнительное
уравнение для изменения плотности электронов во времени
[pic][pic][pic], (24)
где ne – концентрация электронов; We – дрейфовая скорость электронов;
[pic], [pic] – соответственно коэффициент ударной ионизации и прилипания
электронов на единицу длины. Известно [48], что между величинами [pic]/P и
Е/P существует довольно сложная функциональная зависимость (Р – общее
давление смеси; Е – напряженность электрического поля в межэлектродном
промежутке; Е=U/d; где d – расстояние, а U – напряжение между электродами).
Вблизи пробойного напряжения эту зависимость можно аппроксимировать
линейной типа
[pic]=К(U-Uпр)/d, (25)
где Uпр – пробойное напряжение разрядного промежутка, определяемое
составом (парциальным давлением компонент) лазерной смеси [49]; К –
коэффициент, величина которого подбирается эмпирически из сравнения
расчетной и экспериментальной осциллограмм напряжения на обострительной
емкости. Величина дрейфовой скорости электронов равна We=[pic]Е, где [pic]
– подвижность электронов, которая считается независимой от Е и определяется
давлением буферного газа (данные по Uпр и [pic] взяты из [49]).
Сопротивление межэлектродного промежутка в этом случае выражается
через концентрацию электронов следующим образом
R(t)= [pic], (26)
где е–заряд электрона; S–площадь электродов.
Тогда система уравнений, описывающая LC-контур, приобретает вид:
[pic];
[pic];
[pic]; (27)
[pic];
[pic].
Система уравнений (27) решается при определенных начальных условиях
(начальный момент времени соответствует условию U2 = Uпр). Как известно в
режиме холостого хода напряжение на обострительной емкости изменяется по
закону
U2(t)=[pic], (28)
где U0–зарядное напряжение; ?1=R1/2L1; [pic]=[pic];
[pic]; [pic]. Приравнивая U2(t)=Uпр, определим время начала пробоя tпр,
решая трансцендентное уравнение. Теперь напряжение на накопительной емкости
С1 и токи I1, I2 определим из соотношений:
U1(tпр)=U0-[pic]; (29)
I1(tпр)=U0[pic]; (30)
I2(tпр)=[pic]; (31)
R(0)= [pic]. (32)
Таким образом, система уравнений (27) решается при следующих
начальных условиях:
I1(0)=I1(tпр); I2(0)=I2(tпр); U1(0)=Uпр; U2(0)=U2(tпр);
ne(0)= 105 - 107 см -3. (33)
Точные значения неизвестных К и ne(0) находятся из соответствия
расчетных и экспериментальных осциллограмм. Решения системы (27) имеют
физический смысл только при выполнении приближения (25), когда напряжение
на разрядном промежутке не слишком превышает Uпр. Система (27) решалась
численными методами при помощи стандартных программ. Получено хорошее
соответствие расчетных и экспериментальных осциллограмм напряжения на
начальной стадии пробоя (см. рис.23). В области значительных перенапряжений
(при U2>>Uпр.) формула (25) не работает и поэтому наблюдаются расхождения с
результатами эксперимента. Используя более точные выражения для величины
[pic]/P как функции Е/P, в принципе удалось получить хорошее соответствие
эксперименту [50] и в этой области, но при этом необходимо учитывать
кинетику возбуждения колебательных уровней молекулы HСl и делать ряд
дополнительных предположений. Это значительно усложняет модель. Для
составления достаточно простой, но адекватной модели пробоя межэлектродного
промежутка необходимы точные экспериментальные данные по изменению
плотности электронов во времени, причем, именно для конкретного
исследуемого л
| |  скачать работу |
Исследование электроразрядных эксимерных лазеров |
