Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
ани.
__
Найдем проекцию вектора ОО1 с координатами (r; r; r) на вектор нормали:
___
__
ОК = |ОО1|cos? , где ? – угол между вектором ОО1 и вектором нормали.
___ __ _ __ _
|OO1|cos? = (OO1·do) = r·cos? + r·cos? + r·cos? , где (ОО1·dо) –
скалярное произведение двух векторов.
Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,
тогда h = OK + KH, т.е.
h = |OO1|cos? + r, т.к. КН = r
(поскольку КНДО1 является прямоугольником).
Имеем
h = r cos? + r cos? + r cos? + r
т.е.
r = h / (1 + cos? + cos? + cos?)
С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:
____________
(abc)/? aІbІ+bІcІ+aІcІ abc
r = ____________ =
____________ ,
1 + (bc + ac + ab) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ ?aІbІ+bІcІ+aІcІ +
ab + bc + ac
VIII. Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.
А
Дано:
ОАВС -прямоугольный тетраэдр
ОА = ОВ = ОС = а – а
катеты В
Доказать, что гипотенузная а
грань является правильным
треугольником и косинусы О Д
двугранных углов между
гипотенузной гранью и катетными а
гранями равны С
___
?1/3
Доказательство.
Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:
_________ __
АС = ? ОАІ +OCІ = ?2 а
_________ __
АВ = ? ОАІ +OBІ = ?2 а
_________ __
ВС = ? ОВІ + ОСІ = ?2 а
т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось
доказать.
Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией
отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о
трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом
двугранного угла между гранями ОВС и АВС
Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:
_ _ _ ___
АД = (?3/2)АВ = (?3/2)?2 а = ?3/2 а
ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС,
опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:
_
ОД = а/?2
Косинус двугранного угла: __
сos _ОДА = ОД/АД = 1/?3 , что и требовалось
доказать.
Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8
важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования
проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.
Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного
тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и
поэтому имеет большую теоретическую значимость.
ІV. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТЕТРАЭДРА
Результаты исследований можно использовать при решении задач на
факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный
параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного
тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения
задач по сравнению с традиционными методами.
Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский,
З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b,
высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н.
Найти площадь полной поверхности.
А
Дано:
ОАВС- пирамида,
основанием является прямоугольный H
треугольник ОВС с катетами а и b В
ОА = Н, высота.
Найти:
b
S полн. О Д
а
С
1) Решение по традиционной схеме:
S полн. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ ________
ВС = ? аІ +bІ ; АД = ? ОДІ +НІ , где ОД – проекция высоты АД на
основание ВОС.
Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:
______
ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ ? аІ +bІ
Следовательно, _______________
________________________
АД = ? (аb)/( аІ +bІ) + НІ = ?[(аb)І +(bH)І
+ (аH)І]/( аІ +bІ)
_________________
В результате получаем SАВС= (1/2) ? (аb)І +(bH)І + (аH)І
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2) [? (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb]
2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
S полн.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС
SАОС = (1/2)аН; SАОВ = (1/2)bН; SВОС = (1/2)аb;
___________________ _________________
SАВС= ? SАОС І + SАОВІ + SВОС І = (1/2)? (аb)І +(bH)І + (аH)І
_________________
Cледовательно, S полн.= (1/2)(? (аb)І +(bH)І + (аH)І + аН + bН + аb)
Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов,
С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.
Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали
двух его граней
К L
Дано:
ОВДСАКLM - куб А М
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – ребра
?АВС – сечение куба плоскостью, прохо-
дящей через диагонали смежных а
граней. В Д
Найти:
а
SАВС О
а С
1) Решение по традиционной схеме:
Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:
______ __
АС = АВ = ВС = ? аІ + аІ = ?2 а
Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:
_ _
_
SАВС= (?3/4)(АС)2 , т.е. SАВС= (?3/4)(2а2) = (?3/2)а2
2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
SАОС = SАОВ = SВОС = (1/2)а2 (поскольку тетраэдр
равнокатетный);
___________________
SАВС= ? SАОС І + SАОВІ + SВОС І
_________ _
Cледовательно, SАВС= (1/2) ? аІ + аІ + аІ = (?3/2)а2
V. Список использованной литературы:
1. М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е,
Гостехиздат, М.-Л., 1952.
2. А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.:
Учпедгиз 1951.
3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для
средней школы.-М.: Просвещение, 1994.
| |  скачать работу |
Исследование свойств прямоугольного тетраэдра |
