Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Кинетическое уравнение Больцмана

й системы  должно  определяться  квантовыми
параметрами. В  обычных  условиях  (при  не  слишком  высоких  температурах)
молекула газа находятся в  невозбужденном  состоянии,  отвечающем  основному
(нулевому) колебательному уровню. Поэтому квантовыми  эффектами  в  реальных
газах  при  обычных  условиях  можно  пренебречь.   Следовательно,   функция
распределения  классического  идеального  газа  в  неравновесном   состоянии
зависит не только от времени, но и от координат частиц        .
      Обозначим символом Г совокупность всех переменных, от которых  зависит
функция распределения,  за  исключением  координат  молекулы  и  времени.  В
элементе  фазового  объёма      выделим   элементарный   объём   трёхмерного
пространства                 , а остальную   его  часть  обозначим  символом
dГ.  Величины dГ есть интегралы движения, которые остаются  постоянными  для
любой   молекулы   в   течение   её   свободного   движения   между    двумя
последовательными    столкновениями.     Свободное     движение     молекулы
осуществляется без внешнего воздействия со стороны  каких-либо  внешних  тел
или полей. В  результате взаимодействия  молекул  друг с  другом  (в  случае
столкновении) или  под   воздействием  поля
эти величины  вполне  могут  измениться.  Координаты          молекулы,  как
целого, меняются в течение её свободного движения.
      Концентрация или плотность пространственного распределения частиц газа
может быть выражена интегралом                     , а среднее число  частиц
в элементе объёма            определяется  произведением            .    Под
элементом  объёма         подразумевается  физически  малый  объём  ,   т.е.
участок пространства,  размеры  которого  малы  по  сравнению  с  размерами,
рассматриваемыми в задаче. В то же время  размеры  малого объёма  велики  по
сравнению с размерами молекул. Утверждение о нахождении  молекулы  в  данном
элементе объёма        определяет положение молекулы в лучшем случае лишь  с
точностью  до  расстояний,  превышающих  размеры  самой   молекулы.   Точное
определение координат двух  классических  частиц  даёт  возможность  точного
определения их траекторий до и после столкновения,  если  оно  имело  место.
Неопределенность же точного взаимного  положения  частиц   даёт  возможность
применять  вероятностный  подход  к  решению  задачи  об  их   столкновении.
Рассмотрение классического газа подразумевает то,  что плотность
является макроскопической величиной.  Макроскопичность          имеет  место
лишь в том случае, когда  элементарный  объём  содержит  достаточно  большое
число частиц ( только тогда изменение числа  частиц  в  элементарном  объёме
мало  в  течение  рассматриваемого  процесса);  при  этом  линейные  размеры
области,  занимаемой  газом,  должны  быть   значительно   больше   среднего
межмолекулярного расстояния.

      (2 Столкновение частиц.
      Рассмотрим столкновение молекул, одни из которых  обладают  значениями
величин Г, лежащими в заданном интервале       ,  а  другие  –  в  интервале
. В результате столкновения   молекулы  приобретают  значения  величин  Г  в
интервалах соответственно       и  . Далее для краткости  будем  говорить  о
столкновении молекул   и     с переходом
Произведение   числа   молекул   в   единице   объёма                     на
вероятность каждой молекулы  испытать  столкновение  с  указанным  переходом
даст полное число таких столкновений, отнесённое к единице объёма в  единицу
времени. Вероятность такого события (обозначим её  через  некоторую  функцию
       ) пропорциональна числу молекул       в  единице  объёма            и
интервалам        значений   величин           каждой   из   молекул   после
столкновения. Таким образом, будем  считать,  что                ,  а  число
столкновений с переходом                , происходящих в  единице  объёма  в
единицу времени примет вид

(                                              штрихом  обозначены  конечные
состояния,  без  штриха  -  начальные).  Вероятность  столкновения  обладает
важным  свойством,  которое  следует  из  законов   механики,   относительно
обращения знака времени. Если обозначить верхним индексом  Т  значения  всех
величин, получившихся при обращении знака  времени,  то  будет  иметь  место
равенство

Обращение  времени  переставляет  состояния  “до”  и   ”после”,   а   значит
необходимо переставить местами аргументы функции вероятности.  В  частности,
указанное равенство справедливо в  случае  равновесия  системы,  т.е.  можно
утверждать,   что   в   равновесии   число   столкновений     с    переходом
равно числу  столкновений   с  переходом                     (*).  Обозначим
через        равновесную функцию распределения и запишем


(1)
Произведение   дифференциалов    представляет   собой    элемент    фазового
пространства, который не изменяется при обращении времени  (дифференциалы  в
обеих  сторонах  равенства  можно  опустить)  .   Не   изменяется   так   же
потенциальная  энергия  молекул           ,  и,  следовательно,  равновесная
(больцмановская) функция распределения, которая зависит только от енергии :

                                                         (2)

V – макроскопическая скорость  движения  газа  как  целого.  В  силу  закона
сохранения энергии при столкновении  двух  молекул                .  Поэтому
можно записать                   (3)
Отметим ещё тот факт, что сама функция вероятности  в  принципе  может  быть
определена лишь путём решения механической  задачи  о  столкновении  частиц.
Написанное выше равенства (1) , (2) и (3) дадут после сокращений в (1)

 С учётом утверждения (*)

Интегрируя последнее равенство (для  использования  в  дальнейшем)  получаем
соотношение:
                                                                    (4)

(3 Вывод кинетического уравнения.
Рассмотрим производную от функции распределения по времени:
При движении молекул  газа  в  отсутствии  внешнего  поля  величины  Г,  как
интегралы движения, не изменяются.
                                                   (5)

      (последнее  слагаемое  в  выражении  производной  обнуляется  ,   т.к.
)


                                             ( оператор набла)



Выражение для производной примет вид :                   (6)
Пусть  теперь  газ  находится  во  внешнем  потенциальном  поле            ,
действующем   на   координаты   центра   тяжести   молекул   (например,    в
гравитационном поле). И пусть F –  сила,  действующая  со  стороны  поля  на
частицу.

                                                         (7)

Правую часть равенства (6)  обозначим  через                       .  Символ
     означает
скорость  изменения  функции  распределения   благодаря   столкновениям,   а
величина
есть отнесённое к единице  времени  изменение  за  счёт  столкновений  числа
молекул в фазовом объёме     .  Полное  изменение  функции  распределения  в
заданной   точке    фазового    пространства     запишется    в    виде    :

                                                   (8)

Величина         называется интегралом столкновений, а уравнение вида (8)  –
кинетическим уравнением. Реальный смысл  кинетическое уравнение  (8)  примет
только после определения вида интеграла столкновений.

      (3 Определение вида интеграла столкновений и уравнения Больцмана.
       Во  время  столкновения  молекул  происходит  изменение  величин,  от
которых  зависит  функция  распределения.  Учитывая  тот  факт,  что   время
наблюдения состояния системы и координаты частиц изменяются, не зависимо  от
того,  произошло  или  нет  столкновение  частиц  (которое  влияет  лишь  на
характер    изменения     координат),можно     утверждать,что     изменяются
величины  Г столкнувшихся молекул. Рассматривая достаточно  малый  интервал,
    обнаружим, что молекулы при столкновении выводятся из  этого  интервала,
т.е.  имеют  место  акты  “ухода”.  Пусть   двум   столкнувшимся   молекулам
соответствуют, как и ранее,  величины     и     до  столкновения  ,а       ,
   после столкновения (для краткости говорим о переходе              ).
Полное число столкновений при вышеуказанном  переходе  со  всеми  возможными
значениями
          при заданном       ,  происходящих  в  единицу  времени  в  объёме
,определяется интегралом

В то же время происходят столкновения иного рода (называемые “приходом”),  в
результате которых молекулы, обладавшие до столкновения  значениями  величин
      , лежащими вне заданного интервала     ,  попадают  в  этот  интервал.
Такие переходы могут быть обозначены следующим  образом:          (со  всеми
возможными значениями         при  заданном    ).  Аналогично  первому  типу
перехода  полное  число  таких  столкновений  в  единицу  времени  в  объёме
равно:

В результате всех столкновений изменение числа молекул в единицу  времени  в
элементарном объёме  определяется  разностью  между  числом  актов  ухода  и
числом актов прихода:
                                                         (9)  , где
                                  и
Интеграл столкновений может быть определён как:
                                                         (10)
      (изменение числа частиц в единицу времени в фазовом объёме dVdГ )
Из соотношений (8) и (9) получим вид интеграла столкновений
                                                         (11)

Заметим, что во втором члене подынтегрального  выражения  интегрирование  по
      имеет
отношение только к функции               . Множители     и    не зависят  от
переменных       . Преобразовав эту часть интеграла  с  помощью  соотношения
(4) , получим окончательный вид интеграла столкновений
                                                                    (12)
и кинетического уравнения
                                                                    (1
1234
скачать работу

Кинетическое уравнение Больцмана

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ