Кватернионы
частью
кватерниона, а второе – векторной частью. Скалярная часть х – это просто
действительное число, а векторная часть может быть изображена вектором r =
yi + uj + vk в трехмерном пространстве, где i, j, k мы теперь рассматриваем
как единичные вектора прямоугольной системы координат.
Таким образом, каждый кватернион q представляется в виде суммы q = x +
r, где x – скалярная часть кватерниона q, а r – векторная часть. Если r =
0, то q = x и кватернион q называется скалярным кватернионом. Если же x =
0, то q = r и q называется векторным кватернионом.
При сложении кватернионов независимо складываются их скалярные и
векторные части.
При умножении дело обстоит сложнее. Если [pic] и [pic] – скалярные
кватернионы, то их произведение тоже скалярный кватернион. В случае, когда
[pic]= х – скалярный кватернион, а [pic] = r – векторный кватернион,
произведение [pic] является векторным кватернионом, и операция умножения
совпадает с умножением вектора r в пространстве на действительное число x.
И, наконец, если оба кватерниона векторные, то
[pic]
Как видно из последней формулы, скалярная часть произведения [pic][pic]
равна скалярному произведению [pic] векторов [pic] и [pic] с обратным
знаком. Векторная же часть [pic][pic] – это наш старый знакомый – векторное
произведение [pic], записанное в координатах.
Объединяя все рассмотренные случаи, получим общую формулу для умножения
кватернионов. Если [pic] и [pic], то
[pic]
А как же триплеты?
Почему же Гамильтону не удалось найти способа умножения триплетов?
Раньше уже было отмечено, что эту задачу решить нельзя. Доказано, что
попросту не существует способа умножения точек пространства,
удовлетворяющего нашим требованиям (ассоциативности, дистрибутивности
относительно покоординатного сложения, возможности деления на ненулевые
элементы). Сейчас, к тому же, известны все случаи, когда можно вести такое
умножение. Это доказал немецкий математик Ф. Г. Фробениус (1849 – 1917). По
его словам, этих случаев три: в размерности один (действительные числа), в
размерности два (комплексные числа) и в “размерности четыре” (кватернионы).
Что было дальше
Гамильтон и его последователи возлагали большие надежды на кватернионы.
От кватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел, и
даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были
обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд
важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие
алгебраического и функционального исчисления кватернионов не оправдались.
Для кватернионов не имеет места основная теорема алгебры о
существовании корней у многочлена с кватернионными коэффициентами, а, с
другой стороны, существует такой многочлен с кватернионными коэффициентами
от одной переменной, для которого любой кватернион является корнем.
Оптимизм сменился скепсисом. В начале нашего века математики перестали
интересоваться кватернионами. Но время шло, и физики упорно искали
математический формализм для некоторых эффектов, связанных с так называемым
спином элементарных частиц. Кватернионы снова получили признание, когда
была понята их роль в построении различных геометрических преобразований
пространства, используемых в квантовой физике. Геометрические свойства
кватернионов – это особая большая тема.
Для этого будет посвящен другой реферат.
| |  скачать работу |
Кватернионы |
