 |
|
Линейное и динамическое программирование
определенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль, так и убыток. Существует несколько разных способов оценки операции с точки зрения доходности и риска. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода. Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина - это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход от операции Q есть случайная величина, которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание М[Q] называют еще средним ожидаемым доходом, а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением, т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q]. Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найдем средние ожидаемые доходы Qi и риски ri, операций. [pic] ; [pic] ; [pic] ; [pic] . |Q1: |0 |1 |2 |8 | | |1/3 |1/3 |1/6 |1/6 | Q1=0(1/3+1(1/3+2(1/6+8(1/6=2 M[Q12]= 02 (1/3+12 (1/3+22 (1/6+82 (1/6=11,7 D[Q1]= 11,7-22=7,7 r1=2,77 |Q2: |2 |3 |4 |10 | | |1/3 |1/3 |1/6 |1/6 | Q2=4 M[Q22]=23,7 D[Q2]=7,7 r2=2,77 |Q3: |0 |4 |6 |10 | | |1/5 |1/5 |1/5 |2/5 | Q3=6 M[Q32]=50,4 D[Q3]=14,4 r3=3,8 |Q4: |2 |6 |8 |12 | | |1/5 |1/5 |1/5 |2/5 | Q4=8 M[Q42]=78,4 D[Q4]=14,4 r4=3,8 Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. график 3); Получили 4 точки. Чем правее точка (Q,r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (Q',r') доминирует над точкой (Q,r) если Q'>Q и r'0 Рассматриваем вариант, когда В играет в смешанных стратегиях, а П – в чистых стратегиях выбирает первую строку. -7/11= 2y-5(1-y) y*= 48/77 q*=(48/77, 0, 0, 29/77) – оптимальная смешанная стратегия В Анализ модели краткосрочного страхования жизни В страховой компании застраховано N1=900 человек в возрасте 45 лет и N2=550 человек в возрасте 55 лет сроком на один год. Компания выплачивает наследникам: 100000 руб., в случае смерти застрахованного от несчастного случая, и 25000 руб., в случае смерти от естественных причин в течение года. Компания не платит ничего, если человек проживет этот год. Предположим, что смертность описывается моделью Мейкхама и рассчитаем нетто- премию, цену полиса, страховую надбавку, чтобы вероятность неразорения компании составляла 0,95. Индивидуальные иски x[pic] и x[pic] каждого из застрахованных 1-ой и 2-ой групп определяются, соответственно, рядами распределения (для удобства за денежную единицу примем 100000 руб.). 0 ј 1 (1) x[pic] [pic]=0,9982 [pic]=0,0013 [pic]=0,0005 0 ј 1 x[pic] [pic]=0,9962 [pic]=0,0044 [pic]=0,0005 Здесь вероятности смерти от несчастного случая примем равными 0,0005, а вероятности смерти от естественных причин возьмем из Таблицы продолжительности жизни. Средние индивидуальные иски Мx[pic] и Мx[pic] равны соответствующим нетто-премиям Р[pic] и Р[pic] для клиентов компании 1-ой и 2-ой групп. Р[pic] = Мx[pic] = ј*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00083 = 83 руб. (2) Р[pic] = Мx[pic] = ј*0,0044 + 1*0,0005 » 0,0016 = 160 руб. I. Сначала рассмотрим решение, основанное на распределении Пуассона. Чтобы свести задачу к схеме опытов Бернулли можно приближенно заменить ряды распределения (1) следующими таблицами: 0 М(x[pic]/x[pic]№0) 0 М(x[pic]/x[pic]№0) x[pic]: x[pic]: (3) [pic] [pic] [pic] [pic] а затем в качестве условной денежной единицы принять условные математические ожидания М(x[pic]/x[pic]№0) в 1-ой таблице и М(x[pic]/x[pic]№0) – во 2-ой. Вычислим условные математические ожидания: М(x[pic]/x[pic]№0)=ј*Р(x[pic]=ј/x[pic]№0)+1*Р(x[pic]=1/x[pic]№0) = =ј*[pic]/([pic])+1*[pic]= =ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)= =ј*13/18+1*5/49 = 5/18 » 0,458=45800 руб. – денежная единица для клиентов 1- ой группы. М(x[pic]/x[pic]№0=ј*[pic]/([pic])+1*[pic]= =ј*0,0044/(0,0044+0,0005)+1*0,0005/(0,0044+0,0005)= =. ј*44/49+1*5/49 = 16/49 » 0,327=32700 руб – денежная единица для клиентов 2-ой группы. С учетом всех замечаний вместо рядов распределения (3) имеем: 0 1 0 1 x[pic]: x[pic]: (4) 0,9982 0,0018 0,9962 0,0049 откуда получаем: Мx[pic] = 0,0018 Мx[pic] = 0,0049. Подсчитаем сумму исков от застрахованных 1-ой группы: l[pic] = [pic]Мx[pic] = N1* Мx[pic] = 400*0,0018 = 0,7 2-ой группы: l[pic] = [pic]Мx[pic] = N2* Мx[pic] = 1000*0,0049 = 4,9 Общая сумма исков может рассматриваться, как случайная пуассоновская величина с параметром l[pic]+l[pic] = 5,6 Так как вероятность не разорения компании должна быть не меньше 0,95, необходимо чтобы для общей суммы исков от застрахованных x = [pic]x[pic] + [pic]x[pic] выполнялось соотношение: Р(x Ј x) і 0,95 , где х – капитал компании. Очевидно, что х = х[pic], здесь х[pic]» 10– квантиль уровня 0,95 для распределения Пуассона. За счет нетто-премий компания может получить только сумму: 5,6=0,7*45800 руб. + 4,9*32700 руб. = 32060 руб.+1060230 руб. = 192290руб. Поэтому страховая надбавка компании должна составлять: R=(10-5,6)/5,6 (100% »78,6% = 0,786*192290 руб.»1511400руб., (5) а капитал компании: х = 192290 руб. + 151140 руб. » 343430 руб. (6) Таким образом, индивидуальные страховые надбавки r[pic] и r[pic], цены полисов Р[pic] и Р[pic] для каждого из клиентов 1-ой и 2-ой группы соответственно равны (они пропорциональны нетто-премиям): r[pic] = 0,52*Р[pic] = 0,52*83 руб. » 43 руб., r[pic] = 0,52*Р[pic] = 0,52*160 руб. » 83 руб., (7) Р[pic] = Р[pic] + r[pic] » 43 руб. + 83 руб. = 126 руб., Р[pic] = Р[pic] + r[pic] »160 руб. + 83 руб. = 243 руб. II. Теперь решим задачу с помощью гауссовского приближения. Среднее значение общего суммарного иска от застрахованных x = [pic]Мx[pic] + [pic]Мx[pic] с учетом средних индивидуальных исков (2) равно: Мx = N1*Mx[pic]+ N2* Мx[pic]=400*0,00083+1000*0,0016= = 0,332 + 1,6 » 1,9 = 190000 руб. (8) Дисперсию x в виду независимости x[pic] и x[pic] вычислим по формуле: Dx = [pic]Dx[pic] + [pic]Dx[pic] » 400*0,00058 + 1000*0,00078= =0,23 + 0,78 = 1,01. (9) Здесь: Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00058 – (0,00083)[pic] » 0,00058 , (10) Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00078 – (0,0016) [pic] » 0,00078 , где с помощью рядов распределения (1) имеем: М(x[pic])[pic] = 1/16*0,0013 + 1*0,0005 » 0,00058 , (11) М(x[pic])[pic] = 1/16*0,0044 +1*0,0005 » 0,00078. На основании центральной предельной теоремы функция распределения нормированной случайной величины: S[pic]= (x - Mx)/[pic], при N1 + N2 ® Ґ имеет предел F(x) = (1/[pic])*[pic]dz Для гауссовского приближения случайной величины x верна следующая цепочка равенств: Р(x < x) = Р((x - Мx)/[pic] Ј (х - Мx)/[pic]) » F((x - Mx)/[pic]) , где х – капитал компании. Для того чтобы вероятность неразорения компании не превосходила 0,95, т.е. F((x - Mx)/[pic]) і 0,95 должно быть выполнено соотношение (х - Mx)/[pic] і х[pic], (12) здесь х[pic]» 1,645 – квантиль уровня 0,95 стандартного гауссовского распределения. Нетрудно убедиться в том, что минимально необходимый капитал компании должен составлять: х=Мx+х[pic]*[pic]»1,9+1,645*1,005=1,9+1,65=3,55=355000руб., (13) а относительная страховая надбавка составляет: х[pic]*[pic]/Мx*100%=1,65/1,9*100%»86,8% (14) Индивидуальные страховые надбавки r[pic] и r[pic], цены полисов Р[pic] и Р[pic] для клиентов 1-ой и 2-ой групп с учетом (2), очевидно будут равны (страховые надбавки пропорциональны нетто-премиям): r[pic] = 0,68*83 руб. » 56 руб.; r[pic] = 0,68*160 руб. » 109 руб.; (15) Р[pic] = Р[pic] + r[pic] »83 руб. + 56 руб. = 139 руб.; Р[pic] = Р[pic] + r[pic] »160 руб. + 109 руб. = 269 руб. III. Проанализируем результаты, полученные в п.п. I и II. Очевидно расхождение результатов, полученных при использовании пуассоновского и гауссовского приближений. Попытаемся разобраться, в чем причина этого различия. Дело в том, что при использовании закона Пуассона замена рядов распределения (1) на ряды распределения (3) привела к тому, что не изменились лишь математические ожидания Мx[pic]и Мx[pic]. В то же время дисперсии Dx[pic] и Dx[pic], свидетельствующие о степени рассеяния случайных исков x[pic] и x[pic], найденных по рядам распределения (1) и (3), различны. Следовательно, различны и дисперсии Dx, найденные по рядам распределения (1) и (3). Действительно, дисперсия общего суммарного иска x по рядам (1) подсчитана: Dx = 1,24 (см. соотношение (9) ). Вычислим дисперсию x по рядам распределения (3), т.е. 0 0,458 0 0,327 x[pic]: x[pic]: (16) 0,9982 0,0018 0,9962 0,0049 Проведя расчеты, аналогичные (9-11), получим: Dx =[pic]Dx[pic] + [pic]Dx[pic] » 400*0,00038 + 1000*0,00052 = 0,67. (17) Здесь: Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00038 – (0,00083)[pic] » 0,00038 , (18) Dx[pic] = М(x[pic])[pic] - М[pic]x[pic] = 0,00052 – (0,0016) [pic] » 0,00052 , причем: М(x[pic])[pic] = 0,458[pic]*0,0018 » 0,00038 , (19) М(x[pic])[pic] = 0,327[pic]*0,0049 » 0,00052. В дальнейшем будем использовать следующие обозначения: дисперсию x, найденную с использованием рядов (1), обозначим s[pic], а дисперсию x, найденную по рядам (3) или (16), обозначим s[pic]. Таким образом, s[pic] = 1,01, а s[pic] = 0,67. Из формулы (12), использующей стандартное гауссовское распределение, непосредственно следует, что относительная страховая надбавка, если Dx = s[pic] = 0,67 , равна х[pic]*s[pic]/Мx*100% = 1,645*[pic]/1,9*100% » 70,9% (20) Этот результат хорошо согласуется с относительной страховой надбавкой, учитывающей распределение суммарного иска x по закону Пуассона, равной 86,8% (см. (5)). Учитывая вышеизложенное, напрашивается естественный вывод: если относительная страховая надбавка, капиталл компании, обеспечивающий нераз
| |  скачать работу |
Линейное и динамическое программирование |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
