Линейное программирование: постановка задач и графическое решение
a22x2 + ... + a2NХN = b2
. . . . . . . . . . . . . . .
aМ1x1 + aМ2x2 + ... + aМNХN = bМ
xj 0 (j = 1, 2, ..., N)
где все уравнения линейно независимы и выполняется cоотношение N - M = 2.
Используя метод Жордана-Гаусса, производим M исключений, в результате
которых базисными неизвестными оказались, например, M первых неизвестных
х1, х2, ..., хM, а свободными - два последних: хМ+1, и хN, т. е. система
ограничений приняла вид
x1 + a1,М+1xМ+1 + a1NХN = b1
(2.4) x2 + a2,М+1xМ+1 + a2NХN = b2
. . . . . . . . . . . .
xМ + aМ, М+1x2 + aМNХN = bМ
xj 0 (j = 1, 2, ..., N)
С помощью уравнений преобразованной системы выражаем линейную функцию
только через свободные неизвестные и, учитывая, что все базисные
неизвестные - неотрицательные: хj 0 (j = 1, 2, ..., M), отбрасываем их,
переходя к системе ограничений, выраженных в виде неравенств. Таким
образом, окончательно получаем следующую задачу.
Найти минимальное значение линейной функции Z = СМ+1хМ+1+СNxN при
ограничениях
a1,М+1xМ+1 + a1NХN b1
a2,М+1xМ+1 + a2NХN b2
. . . . . . . . . .
aМ,М+1xМ+1 + aМNХN bМ
xМ+1 0, хN 0
Преобразованная задача содержит два неизвестных; решая ее графическим
методом, находим оптимальные значения xМ+1 и хN, а затем, подставляя их в
(2.4), находим оптимальные значения х1, х2, ..., хM.
Пример.
Графическим методом найти оптимальный план задачи ли-нейного
программирования, при котором линейная функция Z = 2х1 - х2 + х3 - 3х4 +
4х5 достигает максимального значения при ограничениях
х1 - х2 + 3х3 - 18х4 + 2х5 = -4
2х1 - х2 + 4х3 - 21х4 + 4х5 = 2
3х1 - 2х2 + 8х3 - 43х4 + 11х5 = 38
xj 0 (j = 1, 2, ..., 5)
Решение.
Используя метод Жордана-Гаусса, произведем три полных исключения
неизвестных х1, х2, х3. В результате приходим к системе
х1 + х4 - 3х5 = 6
х2 + 7х4 + 10х5 = 70
х3 - 4х4 + 5х5 = 20
Откуда x1 = 6 – х4 + 3x5, х2 = 70 – 7х4-10х5, х3 = 20 + 4х4 -5х5.
Подставляя эти значения в функцию и отбрасывая в системе базисные
переменные, получаем задачу, выраженную только через свободные переменные
х4 и х5: найти максимальное значение линейной функции Z = 6х4 + 15х5 – 38
при ограничениях
х4 - х5 6
7х4 + 10х5 70
- 4х4 + 5х5 20
х4 0, х5 0.
Построим многогранник решений и линейную функцию в системе координат
х4Ох5 (рис. 2.5). Из рис. 2.5 заключаем, что линейная функция принимает
максимальное значение в угловой точке В, которая лежит на пересечении
прямых 2 и 3. В результате решения системы
7х4 + 10х5 = 70
- 4х4 + 5х5 = 20
-
находим: х4 = 2, х5 = 28/5. Максимальное значение функции Zmax = -38 + 12 +
84 = 58.
Для отыскания оптимального плана исходной задачи подставляем найденные
значения х4 и х5. Окончательно получаем: х1 = 104/5, х2 = 0, х3 = 0, х4 =
2, х5 = 28/5.
ЛИТЕРАТУРА
1. Математические методы анализа экономики /под ред. А.Я.Боярского. М.,Изд-
во Моск. Ун-та, 1983
2. А.И.Ларионов, Т.И.Юрченко “Экономико-математические методы в
планировании: Учебник – М.: Высш.школа, 1984
3. Ашманов С.А. “Линейное программирование”,- М.: 1961
| |  скачать работу |
Линейное программирование: постановка задач и графическое решение |
