Математический строй музыки
т
значительно приятнее, хотя, как видим, лишь чуть - чуть отличается от
пифагоровой терции. Разность пифагоровой и чистой терций (81 / 64 : 80 / 64
= 81 / 80 ~ 1,0125) называется дидимовой коммой и приблизительно равна1 /
10 целого тона.
Однако идеи Дидима, как это не раз случалось сучёными Древней Греции,
опередили историю почти на полторы тысячи лет. Они не нашли подходящей
почвы для развития, увяли, умерли и были воскрешены только в конце XV
века...
...В XIV веке в Европе получает широкое распространение орган, ставший
официальным инструментом католической церкви. С развитием органа
развивается и многоголосие, которого не знала ни Древняя Греция, ни раннее
средневековье. В течение столетий орган настраивался в пифагоровом строе.
Никакого другого строя средневековье не знало. Но пифагоровы терции звучали
на органе особенно жёстко и не давали покоя музыкантам.
В XVI веке выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик
Джозеффе Царлино (1517-1590) воскресил идеи Дидима. Так родился новый
квинтово - терцовый строй, названный чистым строем. Новое всегда с трудом
пробивает себе дорогу. Учение Царлино подверглось резким нападкам.
Любопытно, что среди тех, кто не признавал учения Царлино и вёл с ним
непримиримую борьбу, был Винченцо Галилей - выдающийся итальянский лютнист
и отец великого революционера Галилео Галилея.
Чистая терция (5 /4), ставшая наравне с квинтой полноправной хозяйкой
нового строя, звучит приятнее пифагоровой. Отметим одну поразительную
закономерность: интервальный коэффициент чистой терции (её называют также
большой терцией) есть среднее арифметическое интервальных коэффициентов
основного тона (1) и квинты (3 /2):
[pic][pic]
А дополнение большой терции (5 /4) до квинты (3 /2) - малая терция (3 /2 :
5 /4 = 6 /5) - является средним гармоническим основного тона и квинты:
[pic][pic]
Оба этих интервала дают приятное звучание; таким образом, закон
целочисленных отношений Пифагора расширяется, а внутри музыкальной гаммы
появляются ещё две пропорции!
Предполагают, что ещё Архит умел выражать большую и малую терции как
среднее арифметическое и гармоническое тона и квинты. Однако письменное
свидетельство этому мы находим лишь в объёмном труде «Универсальная
гармония» Марена Мерсенна (1588-1648) - монаха францисканского ордена,
французского математика, теоретика музыки и философа, учившегося в
иезуитском колледже Ла Флеш вместе с Рене Декартом. Труд Мерсенна -
нескончаемое исследование об интервалах, полное всеобъемлющих умозрений. На
десяти страницах огромного формата автор глубокомысленно обсуждает,
например, «является ли унисон консонансом», и попутно решает вопрос, «как
бы человек мог поднять землю», и т.д. Однако, несмотря на чрезвычайную
напыщенность, которая, впрочем, была неотъемлемой чертой всех сочинений
того времени, работа Мерсенна содержала интересные идеи и прозрения. В
частности, это касалось консонантности и пропорций большой и малой терций.
Сегодня большую и малую терции относят к группе несовершенных консонансов.
Но вернёмся к работам Царлино. Выдающейся заслугой его было не только
выявление консонантности большой терции (5 /4), но и построение
«совершенной гармонии» - объединение большой терции и квинты в
гармоническое трезвучие. Это был первый в истории музыки аккорд, а само
трезвучие
[pic]
ныне именуется мажорным и является основой всего гармонического языка
музыки. Кроме того, Царлино обнаружил, что если отложить те же большую
терцию и квинту вниз от основного тона, то окраска звучания аккорда
существенно изменится. Светлые тона мажора подёргиваются пасмурной дымкой
иного звучания - минора. Приводя аккорд 2/3 : 4/5 : 1 к основному тону
(умножая на 3/2, т.е. сдвигая вверх на квинту), получаем минорное трезвучие
[pic][pic]
Так был открыт закон, известный сегодня каждому юному музыканту: смена
большой терции на малую переводит мажорное трезвучие в минорное.
Мажорное трезвучие было взято за основу чистого строя. Обрамляя
мажорное трезвучие 1 : 5/4 : 3/2 такими же трезвучиями сверху и снизу и
сводя умножением и делением на 2 построенные звуки в одну октаву, получаем
чистый строй лидийской гаммы (натурального мажора)
до ре ми фа соль ля си до1
1 9 5 4 3 5 15 2
8 4 3 2 3 8
9 10 16 9 10 9 16
8 9 15 8 9 8 15
Отмечены тоны, изменившиеся по сравнению с пифагоровым строем, цифры
внизу обозначают интервалы между ступенями.
Как видим, числовые характеристики чистого строя более простые. Однако
сам строй стал менее равномерным: в нём, кроме полутона 15 /16, появились
две разновидности целых тонов 9/8 и 10/9. Знакомые с музыкальной грамотой,
конечно, увидели, что мажорные трезвучия (4:5:6) чистого строя построены на
тонике (до), субдоминанте (фа), и доминанте (соль).
С помощью целых тонов 9/8 и 10/9 и полутона 16/15 легко построить
чистый строй фригийской гаммы:
9 6 4 3 5 16
1 8 5 3 2 3 9 2
Теперь стало два деления целых тонов чистого строя. Чистый строй в
истории музыки сыграл короткую, но заметную роль. Его звучание стало
намного ярче и богаче по сравнению с пифагоровым строем. Чистый строй
способствовал формированию мажорного и минорного ладов, развитию
музыкальной гармонии. Но...
Вместе с достоинствами пришли и недостатки. Всё те же ненавистные
музыкантам «волки» поселились теперь уже не на дополнительных, а на
основных ступенях чистого строя! Легко проверить, что квинта между II и VI
ступенями (ре - ля) является самым настоящим «волком»: 5/3:9/8 = 27/20 =
1,35:
до ре ми фа соль ля си до1 ре1
..1 9 5 4 3 5 15 2
9...
8 4 3 2 3 8
4
Следовательно, настроив орган в чистом строе ноты до, например, органист не
мог уже перейти в тональности ре мажор и ре минор, т.е. в те тональности,
где «волчья квинта» входит в тоническое трезвучие и встречается наиболее
часто. Разумеется, приходилось исключать и те тональности, где эта квинта
входила в доминанту и субдоминанту, которые также являются основными
ступенями лада. Таким образом, органист оказывался что называется связанным
по рукам: модуляции, т.е. переходы, в другие тональности были крайне
ограничены и опасны, и это лишало музыку значительной части её
выразительных средств.
«Волки» продолжали донимать органистов. На фоне «совершенной гармонии»
чистого строя это было особенно невыносимо. Забавный случай рассказывают о
французском композиторе и теоретике музыки, страстном приверженце чистого
строя, Жане Рамо (1683-1764). Однажды Рамо, желая отказаться от
предлагаемой ему должности церковного органиста, выпустил из органа столько
«волков», что привёл в ужас святых отцов и убедил их в своей
«бесталанности». Святые отцы поспешили удалиться вместе со своими лестными
предложениями.
Однако проблема оставалась. Выгнать «волков» из органа, т.е. найти
закон построения нового музыкального строя, а значит, и рецепт новой
настройки органа, наряду с музыкантами безрезультатно пытались и
математики: Кеплер, Декарт, Лейбниц, Эйлер. О теории гармонии Эйлера
шутливо говорили, что она слишком музыкальна для математиков и слишком
математична для музыкантов.
Но то, что не смог сделать изощрённый ум математика, сделала
обыкновенная смекалка простого органиста...
| |  скачать работу |
Математический строй музыки |
