Многогранники
лить в них количество ребер, граней, вершин? Это нетрудно сделать для
многогранников с небольшим числом ребер, а как, например, получить такие
сведения для икосаэдра? Знаменитый математик Л. Эйлер получил формулу В+Г-
Р=2, которая связывает число вершин /В/, граней /Г/ и ребер /Р/ любого
многогранника. Простота этой формулы заключается в том, что она не связана
ни с расстоянием, ни с углами. Для того чтобы определить число ребер,
вершин и граней правильного многогранника, найдем сначала число к=2у -
ху+2х, где х - число ребер, принадлежащих одной грани, у - число граней,
сходящихся в одной вершине. Для нахождения количества граней, вершин и
ребер правильного многогранника используем формулы. После этого нетрудно
заполнить таблицу, в которой приведены сведения об элементах правильных
многогранников:
многогранник Г В Р
тетраэдр 4-4-6
гексаэдр 6-8-12
октаэдр 8-6-12
додекаэдр 12-20-30
икосаэдр 20-12-30
И еще один вопрос возникает в связи с правильными многогранниками:
можно ли ими заполнить пространство так, чтобы между ними не было
просветов? Он возникает по аналогии с правильными многоугольниками,
некоторыми из которых можно заполнить плоскость. Оказывается, заполнить
пространство можно только с помощью одного правильного многогранника-куба.
Пространство можно заполнить и ромбическими додекаэдрами. Чтобы это понять,
надо решить задачу.
Задача. С помощью семи кубов, образующих пространственный "крест",
постройте ромбододекаэдр и покажите, что ими можно заполнить пространство.
[pic]
Решение. Кубами можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической
решетки, изображенной на рис.4. Средний куб оставим нетронутым, а в каждом
из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар
противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы разобьются на шесть
равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными
половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и
образуют вместе с последним ромбический додекаэдр. Отсюда ясно, что
ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие
получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба,
ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра.
Решая последнюю задачу, мы пришли к ромбическим додекаэдрам. Интересно,
что пчелиные ячейки, которые также заполняют пространство без просветов,
также являются в идеале геометрическими фигурами. Верхняя часть пчелиной
ячейки представляет собой часть ромбододекаэдра.
Итак, правильные многогранники открыли нам попытки ученых приблизиться
к тайне мировой гармонии и показали неотразимую привлекательность
геометрии.
| |  скачать работу |
Многогранники |
