О некоторых применениях алгебры матриц
триваемом случае имеем:
[pic]
и Предложение 4 доказано.
Если же [pic], т.е. в силу (8) [pic]- целое, то, рассуждая как и выше,
можем написать:
[pic];
отсюда следует, что [pic], т.е. [pic]- целое. В этом случае
[pic].
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
[pic] [pic]. (1)
Если [pic]- его корень, то [pic], поэтому
[pic], т.е. [pic] есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех
коэффициентов т правой части на [pic], и обратно. Поэтому (1) эквивалентно
уравнению.
[pic]. (2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным
1, т.е. уравнения вида
[pic], (3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
[pic], (4)
получим:
[pic]
[pic]
[pic], т.е.
[pic], (5)
где [pic] и [pic] определяются по заданным коэффициентам [pic] уравнения
(3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно научиться
решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через [pic] неизвестное,
мы видим, что решение любого кубического уравнения вида
[pic], (6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем
теперь, как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в
силу тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего
порядка имеет место тождество
[pic] , (7)
где [pic]- любые числа, [pic]- один из корней третьей степени из единицы,
так что [pic] (проверка тождества опирается на равенство [pic]). Попробуем
теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
[pic], (8)
т.е. положим
[pic]
где [pic]и [pic] пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему
[pic]
которая показывает (в силу теоремы Виета), что [pic] и [pic] являются
корнями квадратного уравнения
[pic]
т.е.
[pic] [pic]
и поэтому
[pic] [pic] (9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором [pic] и
[pic] определяются по формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу
(7) равносильно уравнению
[pic]
и теперь получаем:
[pic] [pic] [pic] (10)
где [pic] и [pic] определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что
кубические корни из (9) имеют по три значения и их необходимо комбинировать
с учетом равенства [pic]; если одна пара значений [pic] и [pic] выбрана
указанным образом, то все три корня определяются по формулам (10).
Сказанное можно представить и по другому; можно сказать, что значения
неизвестного [pic] определяются из равенства
[pic]
т.е.
[pic] (11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967
г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. «Мир», М., 1980 г.
| |  скачать работу |
О некоторых применениях алгебры матриц |
