Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Обработка результатов экспериментов и наблюдений

ю большую ошибку в ряду
равноточных измерений называют предельной ошибкой;
      4. Частные от деления алгебраической суммы всех случайных ошибок на
их общее близко к нулю, т.е.

                       [pic].
      На основе указанных свойств при учете некоторых допущений
математически достаточно строго выводится закон распределения ошибок,
описываемый следующей функцией:
                       [pic],

где ( ( дисперсия измерений (см. ниже);
     е ( основание натуральных логарифмов;
     х ( истинная абсолютная ошибка измерений.
      Иначе эту зависимость называют формулой случайных ошибок, формулой
Гаусса. На рис.1 приведены кривые Гаусса с различной величиной (.



                       Рис. 1. Кривая случайных ошибок

      Закон распределения случайных ошибок является основным в
математической теории погрешностей. Иначе его называют нормальным законом
распределения. Особое значение в пользу широкого использования закона
Гаусса имеет следующее обстоятельство: если суммарная ошибка измерения
появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая их которых
вносит малую долю в общую ошибку (т.е. нет доминирующих причин), то по
какому бы закону не были распределены ошибки, вызываемые каждой из причин,
результат их совместного действия приведет
к нормальному распределению ошибок. Эта закономерность является следствием
так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова и хорошо соотносится
с введенным понятием случайной ошибки.
      Наряду с нормальным законом распределения ошибок могут встречаться и
другие.


      1.5. Наиболее вероятное значение измеряемой величины

      Допустим, что для определения истинного значения Х измеряемой величины
было сделано n равноточных измерений с результатами а1, а2 .. .аn.
Естественно, что ряд этих чисел будет больше Х, другие меньше Х и неясно,
какое из этих чисел ближе всего подходит к Х.
      Представим результаты измерений в виде очевидных равенств:

                 а1 = Х ( (х1; а2 = Х ( (х2; ... ; аn = Х ( (хn.

      Естественно, что истинные абсолютные ошибки (хi могут принимать как
положительные, так и отрицательные значения.
      Суммируя левые и правые стороны равенств получим
                             [pic].

      Поделим обе части равенства на число измерений n и получим
                             [pic].
      Величина  [pic] является среднеарифметическим величины Х. Если число n
достаточно велико ( при n((), то согласно четвертому свойству случайных
ошибок
                             [pic].

      Это же видно и по кривой Гаусса (рис. 1), где всякой положительной
погрешности соответствует равная ей отрицательная.
      Из изложенного следует, что

                             Х = а  при n ( (,

т.е. при бесконечном числе измерений истинное значение измеряемой величины
равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При
ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от
среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х =
а ( (х.
      Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение,
принимаемое за истинное значение измеряемой величины, является наиболее
вероятным значением. Среди значений аi могут оказаться значения, которые в
действительности ближе к истинному значению.
      Отклонение (х вероятнейшего значения а от его истинного значения Х
называют истинной абсолютной ошибкой.

      1.6. Оценка точности измерений

      Для ряда равноточных измерений а1, а2 ...аn определим его
среднеарифметическое значение а и составим разности (а ( а1), (а ( а2),
...,       (а ( аn).
Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения
(Vi). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки (хi = (Х ( аi), бывают
положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим    [pic] т.е.
алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе
измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.
      Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки
результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку
(аi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата
измерений.
      Средняя истинная случайная ошибка (иначе ( среднее отклонение
отдельного измерения) определяется выражением  ((х1+(х2+...+(хn)(n.
Величина  (((х1)2+((х2)2+...+((хn)2((n  представляет средний квадрат
случайной ошибки или дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или
генеральной совокупности (2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная
ошибка отдельного измерения  S = [pic]  является лучшим критерием точности,
чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации  положительных
и отрицательных ошибок (хi и сильнее учитывается действие крупных ошибок.
      Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то
неизвестны и истинные случайные ошибки [pic]хi. Для определения средней
квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что
при большом числе измерений n справедливо равенство

      [pic].

      Различный знаменатель объясняется тем, что величины  [pic]хi являются
независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n(1, т.к. в величину
Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.
      Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить
среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:

                       S = ([pic].

      Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е.
определим величину (х = Х ( а.
      Для этого проведем преобразование выражения
      Sn2 = [pic]
      = [pic]
      = [pic] [pic].
      [pic] Если  повторить серии по n  измерений в каждой N раз, можно
получить средние значения а1, а2, ... , аN и погрешности результатов
измерений
           ((х)1 = (Х ( а1); ((х)2 = (Х ( а2); ... ; ((х)N = (Х ( аN)

и среднюю среднеквадратичную погрешность серии
            [pic]            Sa2 = [pic].[pic]
      При большом числе N S2a ( (2a
                 [pic].

      Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем
            [pic][pic]       Sa2 = ((x)2 = Sn2 ( [pic].

      Учитывая что при большом n S2n ( (2 и S2 ( (2 получаем искомую
связь между дисперсиями всего опыта (2a и отдельного эксперимента (2
                       [pic],
т.е. дисперсия (2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии
отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным
выражением (2a будет S2a
                             [pic].

      Выражения (2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания
точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить
точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного ( четыре
измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число
измерений в 9 раз и т.д.

       7. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности

      Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х
отличается от среднеарифметического a на некоторую величину (x. На рис. 2
представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из
некоторых измерений а1, а2, а3.
      Ясно, что случайные величины а1, а2, а3 обусловят случайный характер
абсолютной погрешности (x результата серии измерений, которая будет
распределена по закону Гаусса:
                             [pic].



               Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных
                          из трех измерений а1, а2, а3

Тогда вместо выражения Х = а ( (х можно записать а ( (х ( Х ( а + (.
      Интервал (а ( (х; а + (х), в который по определению попадает истинное
значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем
значимости( результата серии измерений называется вероятность ( того, что
истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал.
Вероятность ( выражается в долях единицы или процентах. Графически
надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в
пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор
надежности определяется характером производимых измерений. Например, к
деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному
мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных
измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для
любой величины доверительного интервала (выраженного в долях ( ( по формуле
Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти
вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей
литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения
надежности ( при величине доверительного интервала ((, (2(, (3(. Эти
значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.
      По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности (x может быть
представлена в виде К((а, где К некоторый численный коэффициент, зависящий
от надежности (. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного(
числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина
(а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного
интервала при малом n вводится новый коэффициент ((. Этот коэффициент
предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим
свои работы под псевдонимом ( Стьюдент (.



         Рис. 3. Значения надежности ( при различных значениях (x((

И коэффициент (( назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента
отражает распределение случайной величины  t = [pic][pic]при различном n.
При n(( ( практически при n ( 20 ( распределение Стьюдента переходит в
нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся
практически во всей литературе по теории вероятности.
      Зная величину (( можно определить величину абсолютной погрешности  (х
= t(Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не
определяе
12345След.
скачать работу

Обработка результатов экспериментов и наблюдений

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ