Обработка результатов экспериментов и наблюдений
ю большую ошибку в ряду
равноточных измерений называют предельной ошибкой;
4. Частные от деления алгебраической суммы всех случайных ошибок на
их общее близко к нулю, т.е.
[pic].
На основе указанных свойств при учете некоторых допущений
математически достаточно строго выводится закон распределения ошибок,
описываемый следующей функцией:
[pic],
где ( ( дисперсия измерений (см. ниже);
е ( основание натуральных логарифмов;
х ( истинная абсолютная ошибка измерений.
Иначе эту зависимость называют формулой случайных ошибок, формулой
Гаусса. На рис.1 приведены кривые Гаусса с различной величиной (.
Рис. 1. Кривая случайных ошибок
Закон распределения случайных ошибок является основным в
математической теории погрешностей. Иначе его называют нормальным законом
распределения. Особое значение в пользу широкого использования закона
Гаусса имеет следующее обстоятельство: если суммарная ошибка измерения
появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая их которых
вносит малую долю в общую ошибку (т.е. нет доминирующих причин), то по
какому бы закону не были распределены ошибки, вызываемые каждой из причин,
результат их совместного действия приведет
к нормальному распределению ошибок. Эта закономерность является следствием
так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова и хорошо соотносится
с введенным понятием случайной ошибки.
Наряду с нормальным законом распределения ошибок могут встречаться и
другие.
1.5. Наиболее вероятное значение измеряемой величины
Допустим, что для определения истинного значения Х измеряемой величины
было сделано n равноточных измерений с результатами а1, а2 .. .аn.
Естественно, что ряд этих чисел будет больше Х, другие меньше Х и неясно,
какое из этих чисел ближе всего подходит к Х.
Представим результаты измерений в виде очевидных равенств:
а1 = Х ( (х1; а2 = Х ( (х2; ... ; аn = Х ( (хn.
Естественно, что истинные абсолютные ошибки (хi могут принимать как
положительные, так и отрицательные значения.
Суммируя левые и правые стороны равенств получим
[pic].
Поделим обе части равенства на число измерений n и получим
[pic].
Величина [pic] является среднеарифметическим величины Х. Если число n
достаточно велико ( при n((), то согласно четвертому свойству случайных
ошибок
[pic].
Это же видно и по кривой Гаусса (рис. 1), где всякой положительной
погрешности соответствует равная ей отрицательная.
Из изложенного следует, что
Х = а при n ( (,
т.е. при бесконечном числе измерений истинное значение измеряемой величины
равно среднеарифметическому значению результатов всех измерений. При
ограниченном числе измерений истинное значение будет отличаться от
среднеарифметического и необходимо оценить величину этого расхождения: Х =
а ( (х.
Следует еще раз подчеркнуть, что среднеарифметическое значение,
принимаемое за истинное значение измеряемой величины, является наиболее
вероятным значением. Среди значений аi могут оказаться значения, которые в
действительности ближе к истинному значению.
Отклонение (х вероятнейшего значения а от его истинного значения Х
называют истинной абсолютной ошибкой.
1.6. Оценка точности измерений
Для ряда равноточных измерений а1, а2 ...аn определим его
среднеарифметическое значение а и составим разности (а ( а1), (а ( а2),
..., (а ( аn).
Каждую из этих разностей называют вероятнейшей ошибкой отдельного измерения
(Vi). Вероятнейшие ошибки, как и истинные ошибки (хi = (Х ( аi), бывают
положительные и отрицательные, нулевые. Рассмотрим [pic] т.е.
алгебраическая сумма вероятнейших ошибок равна нулю при любом числе
измерений. Истинные случайные ошибки таким свойством не обладают.
Вероятнейшие ошибки Vi лежат в основе математической обработки
результатов измерений: именно по ним вычисляют предельную абсолютную ошибку
(аi среднеарифметического а и тем самым оценивают точность результата
измерений.
Средняя истинная случайная ошибка (иначе ( среднее отклонение
отдельного измерения) определяется выражением ((х1+(х2+...+(хn)(n.
Величина (((х1)2+((х2)2+...+((хn)2((n представляет средний квадрат
случайной ошибки или дисперсию S2 выборки (при ограниченном n) или
генеральной совокупности (2 (при бесконечном n). Средняя квадратичная
ошибка отдельного измерения S = [pic] является лучшим критерием точности,
чем средняя случайная ошибка, т.к. не происходит компенсации положительных
и отрицательных ошибок (хi и сильнее учитывается действие крупных ошибок.
Поскольку истинное значение Х измеряемой величины неизвестно, то
неизвестны и истинные случайные ошибки [pic]хi. Для определения средней
квадратичной ошибки S используется положение теории случайных ошибок, что
при большом числе измерений n справедливо равенство
[pic].
Различный знаменатель объясняется тем, что величины [pic]хi являются
независимыми, а из n величин Vi независимыми являются n(1, т.к. в величину
Vi входит а, само определяемое из этих же n измерений.
Важно, что не зная самих истинных случайных ошибок удается вычислить
среднюю квадратичную ошибку определенного измерения:
S = ([pic].
Оценим теперь погрешность результата всей серии эксперимента, т.е.
определим величину (х = Х ( а.
Для этого проведем преобразование выражения
Sn2 = [pic]
= [pic]
= [pic] [pic].
[pic] Если повторить серии по n измерений в каждой N раз, можно
получить средние значения а1, а2, ... , аN и погрешности результатов
измерений
((х)1 = (Х ( а1); ((х)2 = (Х ( а2); ... ; ((х)N = (Х ( аN)
и среднюю среднеквадратичную погрешность серии
[pic] Sa2 = [pic].[pic]
При большом числе N S2a ( (2a
[pic].
Усредняя выражение S2n по числу серий N, получаем
[pic][pic] Sa2 = ((x)2 = Sn2 ( [pic].
Учитывая что при большом n S2n ( (2 и S2 ( (2 получаем искомую
связь между дисперсиями всего опыта (2a и отдельного эксперимента (2
[pic],
т.е. дисперсия (2a результата серии из n измерений в n раз меньше дисперсии
отдельного измерения. При ограниченном числе n измерений приближенным
выражением (2a будет S2a
[pic].
Выражения (2a и S2a отражают фундаментальный закон возрастания
точности при росте числа наблюдений. Из него следует, что желая повысить
точность измерений в 2 раза мы должны сделать вместо одного ( четыре
измерения; чтобы повысить точность в 3 раза, нужно увеличить число
измерений в 9 раз и т.д.
7. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности
Как установлено ранее, истинное значение измеряемой величины Х
отличается от среднеарифметического a на некоторую величину (x. На рис. 2
представлено расположение истинного значения Х и а, полученного из
некоторых измерений а1, а2, а3.
Ясно, что случайные величины а1, а2, а3 обусловят случайный характер
абсолютной погрешности (x результата серии измерений, которая будет
распределена по закону Гаусса:
[pic].
Рис. 2. Взаимное расположение Х и а, полученных
из трех измерений а1, а2, а3
Тогда вместо выражения Х = а ( (х можно записать а ( (х ( Х ( а + (.
Интервал (а ( (х; а + (х), в который по определению попадает истинное
значение X называют доверительным интервалом. Надежностью (уровнем
значимости( результата серии измерений называется вероятность ( того, что
истинное значение X измеряемой величины попадет в доверительный интервал.
Вероятность ( выражается в долях единицы или процентах. Графически
надежность отражается площадью под кривой нормального распределения в
пределах доверительного интервала, отнесенной к общей площади. Выбор
надежности определяется характером производимых измерений. Например, к
деталям самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному
мотору, а к последнему значительно больше, чем к ручной тачке. При обычных
измерениях ограничиваются доверительной вероятностью 0,90 или 0,95. Для
любой величины доверительного интервала (выраженного в долях ( ( по формуле
Гаусса может быть просчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти
вычисления проделаны и сведены в таблицу, имеющуюся практически во всей
литературе по теории вероятности. На рис. 3 представлены значения
надежности ( при величине доверительного интервала ((, (2(, (3(. Эти
значения доверительной вероятности рекомендуется запомнить.
По рис. 3 видно, что величина абсолютной погрешности (x может быть
представлена в виде К((а, где К некоторый численный коэффициент, зависящий
от надежности (. Однако это справедливо лишь для большого (бесконечного(
числа n. При малых n этим коэффициентом пользоваться нельзя, т.к. величина
(а неизвестна. Для того, чтобы получить оценки границ доверительного
интервала при малом n вводится новый коэффициент ((. Этот коэффициент
предложен английским математиком и химиком В.С. Госсетом, публиковавшим
свои работы под псевдонимом ( Стьюдент (.
Рис. 3. Значения надежности ( при различных значениях (x((
И коэффициент (( назвали коэффициентом Стьюдента. Коэффициент Стьюдента
отражает распределение случайной величины t = [pic][pic]при различном n.
При n(( ( практически при n ( 20 ( распределение Стьюдента переходит в
нормальное распределение. Значения коэффициента Стьюдента также приводятся
практически во всей литературе по теории вероятности.
Зная величину (( можно определить величину абсолютной погрешности (х
= t(Sa . Следует отметить, что величина абсолютной погрешности еще не
определяе
| | скачать работу |
Обработка результатов экспериментов и наблюдений |