Парадокс времени
чением:
частоты зависят от значений принимаемых переменными действия J. В различных
точках фазового пространства фазы различны. Это приводит к тому, что в
одних точках фазового пространства динамической системы существует
резонанс, тогда как в других точках резонанса нет. Как известно, резонансы
соответствуют рациональным соотношениям между частотами. Классический
результат теории чисел сводится к утверждению, что мера рациональных чисел
по сравнению с мерой иррациональных чисел равна нулю. Это означает, что
резонансы встречаются редко: большинство точек в фазовом пространстве
нерезонансные. Кроме того, в отсутствие возмущений, резонансы приводят к
периодическому движению (так называемые резонансные торы), тогда как в
общем случае мы имеем квазипериодическое движение (нерезонансные торы).
Можно сказать кратко: периодические движения — не правило, а исключение.
Таким образом, мы вправе ожидать, что при введении возмущений характер
движения на резонансных торах резко изменится (по теореме Пуанкаре), в то
время как квазипериодическое движение изменится незначительно, по крайней
мере при малом параметре возмущения (теория КАМ требует выполнения
дополнительных условий, которые мы не будем здесь рассматривать). Основной
результат теории КАМ состоит в том, что теперь мы имеем два совершенно
различных типа траекторий: слегка изменившиеся квазипериодические
траектории и стохастические j траектории, возникшие при разрушении
резонансных торов [3].
Наиболее важный результат теории КАМ — появление стохастических
траекторий — подтверждается численными экспериментами. Рассмотрим систему с
двумя степенями свободы. Ее фазовое пространство содержит две координаты
q1, q2 и два импульса p1, р2. Вычисления производятся при данном значении
энергии H(q1,q2,p1,p2), и поэтому остается только три независимых
переменных. Чтобы избежать построения траекторий в трехмерном пространстве,
условимся рассматривать только пересечение траекторий с плоскостью q2p2.
Для еще большего упрощения картины мы будем строить только половину этих
пересечений, а именно учитывать только такие точки, в которых траектория
«пронзает» плоскость сечения снизу вверх. Таким приемом пользовался еще
Пуанкаре, и он называется сечением Пуанкаре (или отображением Пуанкаре). В
сечении Пуанкаре отчетливо видно качественное различие между периодическими
и стохастическими траекториями.
Если движение периодическое, то траектория пересекает плоскость q2p2 в
одной точке. Если движение квазипериодическое, т.е ограничено поверхностью
тора, то последовательные точки пересечения заполняют на плоскости q2p2
замкнутую кривую. Если же движение стохастическое, то траектория случайным
образом блуждает в некоторых областях фазового пространства, и точки ее
пересечения так же случайным образом заполняют некоторую область на
плоскости q2р2.
Еще один важный результат теории КАМ состоит в том, что, увеличивая
параметр связи, мы тем самым увеличиваем области, в которых преобладает
стохастичность. При некотором критическом значении параметра связи
возникает хаос: в этом случае мы имеем положительный показатель Ляпунова,
соответствующий экспоненциальному разбеганию со временем любых двух близких
траекторий. Кроме того, в случае полностью развитого хаоса облако точек
пересечения, порождаемое траекторией, удовлетворяет уравнениям типа
уравнения диффузии[1].
Уравнения диффузии обладают нарушенной симметрией во времени. Они
описывают приближение к равномерному распределению в будущем (т. е. при t
—> +?). Поэтому весьма интересно, что в компьютерном эксперименте, исходя
из программы, составленной на основе классической динамики, мы получаем
эволюцию с нарушенной симметрией во времени.
Следует подчеркнуть, что теория КАМ не приводит к динамической теории
хаоса. Ее главный вклад состоит в другом: теория КАМ показала, что при
малых значениях параметра связи мы имеем промежуточный режим, в котором
сосуществуют траектории двух типов — регулярные и стохастические. С другой
стороны, нас интересует главным образом то, что произойдет в предельном
случае, когда снова останется лишь один тип траекторий. Эта ситуация
соответствует так называемым большим системам Пуанкаре (БСП). К их
рассмотрению мы сейчас переходим.
4.2. Большие системы Пуанкаре
При рассмотрении предложенной Пуанкаре классификации динамических
систем на интегрируемые и неинтегрируемые мы отметил, что резонансы
встречаются редко, поскольку возникают в случае рациональных соотношений
между частотами. Но при переходе к БСП ситуация радикально изменяется: в
БСП резонансы играют главную роль.
Рассмотрим в качестве примера взаимодействие между какой-нибудь
частицей и полем. Поле можно рассматривать как суперпозицию осцилляторов с
континуумом частот wk. В отличие от поля частица совершает колебания с
одной фиксированной частотой w1. Перед нами пример неинтегрируемой системы
Пуанкаре. Резонансы будут возникать всякий раз, когда wk =w1. Во всех
учебниках физики показано, что испускание излучения обусловлено именно
такими резонансами между заряженной частицей и полем. Испускание излучения
представляет собой необратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.
Новая особенность состоит в том, что частота wk есть непрерывная
функция индекса k, соответствующая длинам волн осцилляторов поля. Такова
специфическая особенность больших систем Пуанкаре, т. е. хаотических
систем, у которых нет регулярных траекторий, сосуществующих со
стохастическими траекториями. Большие системы Пуанкаре (БСП) соответствуют
важным физическим ситуациям, в действительности — большинству ситуаций, с
которыми мы сталкиваемся в природе. Но БСП позволяют также исключить
расходимости Пуанкаре, т. е. устранить основное препятствие на пути к
интегрированию уравнений движения. Этот результат, заметно приумножающий
мощь динамического описания, разрушает отождествление ньютоновской или
гамильтоновой механики и обратимого во времени детерминизма, поскольку
уравнения для БСП в общем случае приводят к принципиально вероятностной
эволюции с нарушенной симметрией во времени.
Обратимся теперь к квантовой механике. Между проблемами, с которыми мы
сталкиваемся в классической и квантовой теории, существует аналогия,
поскольку предложенная Пуанкаре классификация систем, на интегрируемые и
неинтегрируемые остается в силе и для квантовых систем.
5.Решение парадокса времени
5.1.Законы хаоса
Трудно говорить о «законах хаоса», пока мы рассматриваем отдельные
траектории. Мы имеем дело с негативными аспектами хаоса, такими как
экспоненциальное разбегание траекторий и не вычислимость. Ситуация резко
меняется, когда мы переходим к вероятностному описанию. Описание в терминах
вероятностей остается в силе при любых временах. Поэтому и законы динамики
надлежит формулировать на вероятностном уровне. Но этого не достаточно.
Чтобы включить в описание нарушение симметрии во времени, мы должны выйти
из обычного гильбертова пространства. В рассмотренных ними здесь простых
примерах необратимые процессы определялись только временем Ляпунова, но все
приведенные соображения могут быть обобщены и на более сложные отображения,
описывающие необратимы! процессы другого типа, например, диффузию [2].
Полученное нами вероятностное описание несводимо: это неизбежное
следствие того, что собственные функции принадлежат к классу обобщенных
функций. Как уже упоминалось, этот факт можно использовать в качестве
отправного пункта нового, более общего определения хаоса. В классической
динамике хаос определяется "экспоненциальным разбеганием"[1] траекторий, но
такое определение хаоса не допускает обобщения на квантовую теорию. В
квантовой теории нет "экспоненциального разбегания" волновых функций и,
следовательно, не существует чувствительности к начальным условиям в
обычном смысле. Тем не менее, существуют квантовые системы,
характеризующиеся несводимыми вероятностными описаниями. Помимо прочего
такие системы имеют принципиальное значение для нашего описания природы.
Как и прежде, фундаментальные законы физики применительно к таким системам
формулируются в виде вероятностных утверждений (а не в терминах волновых
функций). Можно сказать, что такие системы не позволяют отличить чистое
состояние от смешанных состояний. Даже если мы выберем в качестве
исходного, чистое состояние, оно со временем превратится в смешанное
состояние.
Исследование описанных в этой главе отображений представляет большой
интерес. Эти простые примеры позволяют наглядно представить, что мы имеем в
виду, говоря о третьей, несводимой, формулировке законов природы. Тем не
менее, отображения — не более чем абстрактные геометрические модели. Теперь
же мы обратимся к динамическим системам на основе гамильтонова описания —
фундамента современной концепции законов природы.
5.2.Квантовый хаос
Квантовый хаос отождествляется с существованием несводимого
вероятностного представления. В случае с БСП в основе такого представления
лежат резонансы Пуанкаре.
Следовательно, квантовый хаос связан с разрушением инварианта движения
вследствие резонансов Пуанкаре. Это свидетельствует о том, что в сл
| | скачать работу |
Парадокс времени |