Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Парадокс времени

чением:
частоты зависят от значений принимаемых переменными действия J. В  различных
точках фазового пространства фазы различны.  Это  приводит  к  тому,  что  в
одних  точках  фазового   пространства   динамической   системы   существует
резонанс, тогда как в других точках резонанса нет. Как  известно,  резонансы
соответствуют  рациональным  соотношениям  между   частотами.   Классический
результат теории чисел сводится к утверждению, что мера  рациональных  чисел
по сравнению с мерой иррациональных чисел  равна  нулю.  Это  означает,  что
резонансы  встречаются  редко:  большинство  точек  в  фазовом  пространстве
нерезонансные. Кроме того, в отсутствие  возмущений,  резонансы  приводят  к
периодическому движению (так называемые  резонансные  торы),  тогда  как   в
общем случае мы имеем  квазипериодическое  движение  (нерезонансные   торы).
Можно сказать кратко: периодические движения —  не  правило,  а  исключение.

      Таким образом, мы вправе ожидать, что при введении возмущений характер
движения на резонансных торах резко изменится (по теореме  Пуанкаре),  в  то
время как квазипериодическое движение изменится  незначительно,  по  крайней
мере  при  малом  параметре  возмущения  (теория  КАМ   требует   выполнения
дополнительных условий, которые мы не будем здесь  рассматривать).  Основной
результат теории КАМ состоит в том,  что  теперь  мы  имеем  два  совершенно
различных   типа   траекторий:    слегка   изменившиеся   квазипериодические
траектории  и  стохастические  j  траектории,   возникшие   при   разрушении
резонансных торов [3].
      Наиболее  важный  результат  теории  КАМ  —  появление  стохастических
траекторий — подтверждается численными экспериментами. Рассмотрим систему  с
двумя степенями свободы. Ее фазовое  пространство  содержит  две  координаты
q1, q2 и два импульса p1, р2. Вычисления производятся  при  данном  значении
энергии  H(q1,q2,p1,p2),  и  поэтому   остается   только   три   независимых
переменных. Чтобы избежать построения траекторий в трехмерном  пространстве,
условимся рассматривать только пересечение  траекторий  с  плоскостью  q2p2.
Для еще большего упрощения картины мы будем  строить  только  половину  этих
пересечений, а именно учитывать только такие  точки,  в  которых  траектория
«пронзает» плоскость сечения снизу  вверх.  Таким  приемом  пользовался  еще
Пуанкаре, и он называется сечением Пуанкаре (или отображением  Пуанкаре).  В
сечении Пуанкаре отчетливо видно качественное различие между  периодическими
и стохастическими траекториями.
      Если движение периодическое, то траектория пересекает плоскость q2p2 в
одной точке. Если движение квазипериодическое, т.е  ограничено  поверхностью
тора, то последовательные точки  пересечения  заполняют  на  плоскости  q2p2
замкнутую кривую. Если же движение стохастическое, то  траектория  случайным
образом блуждает в некоторых областях  фазового  пространства,  и  точки  ее
пересечения  так  же  случайным  образом  заполняют  некоторую  область   на
плоскости q2р2.
      Еще один важный результат теории КАМ состоит в  том,  что,  увеличивая
параметр связи, мы тем самым  увеличиваем  области,  в  которых  преобладает
стохастичность.  При  некотором   критическом   значении   параметра   связи
возникает хаос: в этом случае мы имеем  положительный  показатель  Ляпунова,
соответствующий экспоненциальному разбеганию со временем любых двух  близких
траекторий. Кроме того, в случае  полностью  развитого  хаоса  облако  точек
пересечения,  порождаемое   траекторией,   удовлетворяет   уравнениям   типа
уравнения диффузии[1].
      Уравнения диффузии обладают  нарушенной  симметрией  во  времени.  Они
описывают приближение к равномерному распределению в будущем (т.  е.  при  t
—> +?). Поэтому весьма интересно, что в  компьютерном  эксперименте,  исходя
из программы, составленной на  основе  классической  динамики,  мы  получаем
эволюцию с нарушенной симметрией во времени.
      Следует подчеркнуть, что теория КАМ не приводит к динамической  теории
хаоса. Ее главный вклад состоит в  другом:  теория  КАМ  показала,  что  при
малых значениях параметра связи мы  имеем  промежуточный  режим,  в  котором
сосуществуют траектории двух типов — регулярные и стохастические.  С  другой
стороны, нас интересует главным образом  то,  что  произойдет  в  предельном
случае, когда  снова  останется  лишь  один  тип  траекторий.  Эта  ситуация
соответствует  так  называемым  большим  системам  Пуанкаре  (БСП).   К   их
рассмотрению мы сейчас переходим.

                        4.2. Большие системы Пуанкаре

      При  рассмотрении  предложенной  Пуанкаре  классификации  динамических
систем  на  интегрируемые  и  неинтегрируемые  мы  отметил,  что   резонансы
встречаются редко, поскольку возникают  в  случае  рациональных  соотношений
между частотами. Но при переходе к БСП  ситуация  радикально  изменяется:  в
БСП резонансы играют главную роль.
      Рассмотрим  в  качестве  примера  взаимодействие  между   какой-нибудь
частицей и полем. Поле можно рассматривать как суперпозицию  осцилляторов  с
континуумом частот wk. В отличие  от  поля  частица  совершает  колебания  с
одной фиксированной частотой w1. Перед нами пример  неинтегрируемой  системы
Пуанкаре. Резонансы будут возникать  всякий  раз,  когда  wk  =w1.  Во  всех
учебниках физики  показано,  что  испускание  излучения  обусловлено  именно
такими резонансами между заряженной частицей и полем.  Испускание  излучения
представляет собой необратимый процесс, связанный с резонансами Пуанкаре.
      Новая особенность состоит в  том,  что  частота  wk  есть  непрерывная
функция индекса k, соответствующая длинам  волн  осцилляторов  поля.  Такова
специфическая  особенность  больших  систем  Пуанкаре,  т.  е.   хаотических
систем,   у   которых   нет   регулярных   траекторий,   сосуществующих   со
стохастическими траекториями. Большие системы Пуанкаре  (БСП)  соответствуют
важным физическим ситуациям, в действительности —  большинству  ситуаций,  с
которыми мы  сталкиваемся  в  природе.  Но  БСП  позволяют  также  исключить
расходимости Пуанкаре, т.  е.  устранить  основное  препятствие  на  пути  к
интегрированию уравнений движения.  Этот  результат,  заметно  приумножающий
мощь  динамического  описания,  разрушает  отождествление  ньютоновской  или
гамильтоновой механики  и  обратимого  во  времени  детерминизма,  поскольку
уравнения для БСП в общем  случае  приводят  к  принципиально  вероятностной
эволюции с нарушенной симметрией во времени.
      Обратимся теперь к квантовой механике. Между проблемами, с которыми мы
сталкиваемся  в  классической  и  квантовой  теории,  существует   аналогия,
поскольку предложенная Пуанкаре классификация  систем,  на  интегрируемые  и
неинтегрируемые остается в силе и для квантовых систем.

                         5.Решение парадокса времени


                              5.1.Законы хаоса

      Трудно говорить о «законах хаоса», пока  мы  рассматриваем   отдельные
траектории.  Мы  имеем  дело  с  негативными  аспектами  хаоса,  такими  как
экспоненциальное разбегание траекторий и  не  вычислимость.  Ситуация  резко
меняется, когда мы переходим к вероятностному описанию. Описание в  терминах
вероятностей остается в силе при любых временах. Поэтому и  законы  динамики
надлежит формулировать на вероятностном  уровне.  Но  этого  не  достаточно.
Чтобы включить в описание нарушение симметрии во времени,  мы  должны  выйти
из обычного гильбертова пространства. В  рассмотренных  ними  здесь  простых
примерах необратимые процессы определялись только временем Ляпунова, но  все
приведенные соображения могут быть обобщены и на более сложные  отображения,
описывающие необратимы! процессы другого типа, например, диффузию [2].
      Полученное  нами  вероятностное  описание  несводимо:  это  неизбежное
следствие того, что собственные  функции  принадлежат  к  классу  обобщенных
функций. Как уже  упоминалось,  этот  факт  можно  использовать  в  качестве
отправного пункта нового, более общего  определения  хаоса.  В  классической
динамике хаос определяется "экспоненциальным разбеганием"[1] траекторий,  но
такое определение хаоса  не  допускает  обобщения  на  квантовую  теорию.  В
квантовой теории нет  "экспоненциального  разбегания"  волновых  функций  и,
следовательно,  не  существует  чувствительности  к  начальным  условиям   в
обычном   смысле.   Тем   не   менее,    существуют    квантовые    системы,
характеризующиеся  несводимыми  вероятностными  описаниями.  Помимо  прочего
такие системы имеют принципиальное значение  для  нашего  описания  природы.
Как и прежде, фундаментальные законы физики применительно к  таким  системам
формулируются в виде вероятностных утверждений (а  не  в  терминах  волновых
функций). Можно сказать, что такие  системы  не  позволяют  отличить  чистое
состояние  от  смешанных  состояний.  Даже  если  мы  выберем   в   качестве
исходного,  чистое  состояние,  оно  со  временем  превратится  в  смешанное
состояние.
      Исследование описанных в этой главе отображений  представляет  большой
интерес. Эти простые примеры позволяют наглядно представить, что мы имеем  в
виду, говоря о третьей, несводимой, формулировке  законов  природы.  Тем  не
менее, отображения — не более чем абстрактные геометрические модели.  Теперь
же мы обратимся к динамическим системам на основе  гамильтонова  описания  —
фундамента современной концепции законов природы.


                             5.2.Квантовый хаос

      Квантовый   хаос   отождествляется   с   существованием    несводимого
вероятностного представления. В случае с  БСП в основе такого  представления
лежат резонансы Пуанкаре.
      Следовательно, квантовый хаос связан с разрушением инварианта движения
вследствие резонансов Пуанкаре. Это свидетельствует о том, что в сл
123
скачать работу

Парадокс времени

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ