Правильные многогранники
у косинусов для трехгранных углов к любому трехгранному углу
данного додекаэдра при его вершине, получим: cos[pic], откуда
[pic]
[pic].
На изображенном правильном октаэдре ABCDMF вы можете убедиться, что
двугранный угол [pic] при ребре октаэдра равен 2arctg[pic].
M
F
Для нахождения величины двугранного угла [pic] при ребре правильного
икосаэдра можно рассмотреть трехгранный угол ABCD при вершине А: его
плоские углы ВАС и CAD равный [pic] , а третий плоский угол BAD, против
которого лежит двугранный угол B(AC)D = [pic], равен [pic] (BCDMF –
правильный пятиугольник). По теореме косинусов для трехгранного угла ABCD
имеем: [pic]. Учитывая, что [pic], получаем [pic], откуда [pic]. Таким
образом, двугранный угол [pic] при ребре икосаэдра равен [pic].
[pic]
Итак, получаем следующую таблицу величин двугранных углов при ребрах
правильных многогранников.
|Вид многогранника |Величина двугранного угла при ребре |
|Правильный тетраэдр |[pic] |
|Правильный октаэдр |[pic] |
|Правильный гексаэдр (куб) |[pic] |
|Правильный додекаэдр |[pic] |
|Правильный икосаэдр |[pic] |
Прежде чем находить объем того или иного правильного многогранника,
сначала проведем рассуждения о том, как можно найти объем правильных
многогранников в общем виде.
Попытайтесь сначала доказать, что если центр каждой грани любого
правильного многогранника провести прямую, перпендикулярную плоскости этой
грани, то все проведенные прямые пересекутся в некоторой одной точке О,
удаленной от всех граней данного многогранника на одно и тоже расстояние,
которое обозначим r. Точка О окажется центром сферы, вписанной в данный
многогранник, а r – ее радиусом. Соединив полученную точку О со всеми
вершинами данного многогранника, мы разобьем его на Г равных между собой
пирамид (Г—число граней правильного многогранника): основаниями
образованных пирамид равны r. Тогда объем данного многогранника равен сумме
объемов всех этих пирамид. Так как многогранник правильный, то его объем V
можно найти по формуле:
(1)
Остается найти длину радиуса r. Для этого, соединив точку О с серединой К
ребра многогранника, попробуйте убедиться, что наклонная КО к грани
многогранника, содержащей ребро, составляет с плоскостью этой грани угол,
равный половине величины [pic] двугранного угла при этом ребре
многогранника; проекция же наклонной КО на плоскость этой грани принадлежит
ее апофеме и равна радиусу вписанной в нее окружности. Тогда
(2)
где p—полупериметр грани. Тогда из (1) и (2) получаем общую для всех
правильных многогранников формулу вычисления их объемов:
[pic].
Эта формула совершенно не нужна для нахождения объемов куба, правильных
тетраэдра и октаэдра, но позволяет довольно легко находить объемы
правильных икосаэдра и додекаэдра.
|Вид многогранника |Объем многогранника |
|Правильный тетраэдр |[pic] |
|Правильный октаэдр |[pic] |
|Куб |[pic] |
|Правильный икосаэдр |[pic] |
|Правильный додекаэдр |[pic] |
| |  скачать работу |
Правильные многогранники |
