Применение тройных и кратных интегралов
вать шестигранник MN как прямоугольный параллелепипед с
измерениями, равными: [pic] по направлению полярного радиуса, [pic] по
направлению меридиана, [pic] по направлению параллели. Для элемента объема
мы получим тогда выражение
[pic]
Заменив в тройном интеграле [pic] по формулам (**) и взяв элемент объема
равным полученному выражению, будем иметь
[pic]
Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область
интегрирование [pic] - шар с центром в начале координат или шаровое кольцо.
Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара [pic], а
внешнего [pic], пределы интегрирования следует расставить так:
[pic]
Если [pic] - шар, то нужно положить [pic]
A) Пример.
Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию
надо взять равной 1, и мы получим
[pic]
Применение тройных интегралов.
Для вычисления координат центра тяжести тела нужны статические моменты
относительно координатных плоскостей Оху, Охz, Оуz; обозначим их
соответственно [pic] Повторяя рассуждения получим следующие формулы для
координат [pic] центра тяжести неоднородного тела, плотность которого
задается функцией [pic] занимающего область [pic]:
[pic]
Если тело однородно, т. е. [pic], то формулы упрощаются:
[pic]
где V- объём тела.
Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара [pic]:
[pic]
Две координаты центра тяжести [pic] равны нулю, ибо полушар симметричен
относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).
Интеграл [pic] удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:
[pic]
Так как объём полушара равен [pic] то
[pic]
Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных
осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz
соответственно равны [pic] то полагая для простоты [pic] получим следующие
формулы :
[pic]
Аналогично плоскому случаю интегралы
[pic]
называются центробежными моментами инерции.
Для полярного момента инерции формула имеет вид
[pic]
Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеграла будет
находиться дополнительный множитель [pic] - плотность тела в точке P.
Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В
этом случае очень удобно перейти к сферическим координатам. Будем иметь
[pic]
где М—масса шара.
Так как для сферы моменты инерции относительно осей координат, очевидно,
равны между собой, то, учитывая, что [pic] получим
[pic]
Моменты инерции тела относительно оси играют важную роль при вычислении
кинетической энергии тела при его вращении около соответствующей оси. Пусть
тело [pic] вращается около оси Оz с постоянной угловой скоростью [pic].
Найдем кинетическую энергию [pic] тела. Как известно, кинетическая энергия
точки измеряется величиной [pic], где т - масса точки, а [pic] - величина
ее скорости. Кинетическая энергия системы точек определяется как сумма
кинетических энергий отдельных точек, а кинетическая энергия тела - как
сумма кинетических энергий всех частей, на которые оно разбито. Это
обстоятельство позволяет применить для вычисления .кинетической энергии
интеграл.
Возьмем какую-нибудь окрестность [pic] точки Р(х, у, z) тела [pic].
Величина линейной скорости [pic] точки Р при вращении около оси Оz равна
[pic] и значит, кинетическая энергия части [pic] тела [pic] выразится
так :
[pic]
где [pic] - плотность тела в точке Р. Для кинетической энергии всего тела
[pic] получаем
[pic]
т.е.
[pic]
Кинетическая энергия тела, вращающегося около некоторой оси с постоянной
угловой скоростью, равна половине квадрата угловой скорости, умноженной на
момент инерции тела относительно оси вращения.
Список использованной литературы.
1. А.Ф. Бермант ,И.Г. Араманович.
Краткий курс математического анализа для втузов: Учебное пособие для
втузов: - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы,
1971 г.,736с.
| |  скачать работу |
Применение тройных и кратных интегралов |
