Призма
вана “огнеформное тело”.
В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. В III
Тысячелетии до н.э. египтяне сооружали ступенчатые пирамиды, сложенные из
каменных блоков; позже египетские пирамиды приобрели геометрически
правильную форму, например пирамида Хеопса, высота которой достигает почти
147 м, и др. Внутри пирамид находились погребальные склепы и коридоры.
Согласно Архимеду, еще в V до н.э. Демокрит из Абдеры установил, что
объем пирамиды равен одной трети объема призмы с тем же основанием и той же
высотой. Полное доказательство этой теоремы дал Евдокс Книдский в IV до
н.э.
В “Началах” Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади
оснований обратно пропорциональны соответствующим высотам. Первое
непосредственное вычисление объема пирамиды, дошедшее до нас, встречается у
Герона Александрийского.
Интересно отметить, что в древних документах встречаются правила для
определения объема усеченной пирамиды, о нет правил вычисления объема
полной пирамиды. В “Московском папирусе” имеется задача, озаглавленная
“Действия с усеченной пирамидой”, в которой излагается верное вычисление
объема одной усеченной пирамиды. В вавилонских клинописных табличках также
не встречается вычисление объема пирамиды, но зато в них есть много
примеров вычисления объема усеченной пирамиды.
2.6. О призме и параллелепипеде
В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются
такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Важнейшей
задачей египетской и вавилонской геометрии было определение объема
различных пространственных фигур. Эта задача отвечала необходимости строить
дома, дворцы, храмы и другие сооружения.
Часть геометрии, в которой изучаются свойства куба, призмы,
параллелепипеда и других геометрических тел и пространственных фигур,
издавна называется стереометрией; Слово это греческого происхождения
(“стереос” - пространственный, “метрео” - измеряю) и встречается еще у
знаменитого древнегреческого философа Аристотеля. Стереометрия возникла
позже, чем планиметрия. Евклид дает следующее определение призмы: “Призма
есть телесная (т.е. пространственная) фигура, заключенная между
плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные
же - параллелограммы”. Тут, как и во многих других местах, Евклид
употребляет термин “плоскость” не в смысле безгранично продолженной
плоскости, а в смысле ограниченной ее части, грани, подобно тому как
“прямая” означает у него и отрезок прямой.
Термин “призма” греческого происхождения и буквально означает
“отпиленное” (тело).
Термин “параллелепипедальное тело” встречается впервые у Евклида и
означает дословно “параллеле-плоскостное тело”. Греческое слово “кубос”
употребляется Евклидом в том же смысле, что и наше слово “куб”
2.7. Параллелепипед
Определение. Призма, основание которой - параллелограмм, называется
параллелепипедом.
В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная
призма, все грани которой - параллелограммы (рис. ). Параллелепипеды, как
и призмы, могут быть прямыми и наклонными. На рисунке изображен
наклонный параллелепипед, а на рисунке - прямой параллелепипед.
Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник,
называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда
все грани - прямоугольники. Моделями прямоугольного параллелепипеда служат
классная комната, кирпич, спичечная коробка.
Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец,
называют его измерениями. Например, имеются спичечные коробки с измерениями
15, 35, 50 мм. Куб - прямоугольный параллелепипед с равными измерениями.
Все шесть граней куба - равные квадраты.
Рассмотрим некоторые свойства параллелепипеда.
Теорема. Параллелепипед симметричен относительно середины его
диагонали.
Дано: АС1 (рис. ) - произвольный параллелепипед, В1D - его
диагональ, точка О - середина этой диагонали.
Доказать: Z0(AC1) = AC1.
Доказательство. Рассмотрим центральную симметрию Z0 с центром в точке
О. Центральная симметрия - перемещение (сохраняет расстояния), отображающее
каждый луч на противоположный ему луч. Поэтому
B1 = Z0(D), B1C1 = Z0(DA), DA = B1C1, C1 = Z0(A).
Аналогично можно показать, что точки D1 и В, А1 и С также центрально-
симметричны. Таким образом, симметрия отображает поверхность
параллелепипеда на себя. Внутренность параллелепипеда также отображает на
себя (параллелепипед можно рассматривать как пересечение полупро
странств, образованных плоскостями его граней, а перемещение отображает
пересечение фигур на пересечение их образов).
Таким образом, центральная симметрия Z0 отображает параллелепипед на
себя: Z0(AC1) = AC1. Теорема доказана.
Из теоремы непосредственно следуют важные свойства параллелепипеда:
1. Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда
и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности,
все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею
пополам.
Так, на рисунке A1O=OC, B1O=OD, D1O=OB, AO=OC1, а также MO=ON, где
M`A1B1C1D1, N`ABCD, O`MN.
2. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
Так, на рисунке AA1D1D=BB1C1C, (AA1D1)П(BB1C1).
Рассмотренными свойствами обладает произвольный параллелепипед.
Докажем одно свойство прямоугольного параллелепипеда.
Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен
сумме квадрата трех его измерений.
Дано: АС1 - прямоугольный параллелепипед, чABч= a, чADч=b, чAA1ч=c -
его измерения, чAC1ч=d - длина его диагонали.
Доказать: d2=a2+b2+c2.
Доказательство. Введем систему координат так, как показано на
рисунке , приняв за ее начало вершину А, за произвольный базис
тройку векторов V, b, c. Тогда вектор AC имеет координаты (a;b;c), и,
следовательно,
є
чAC ч 2= d2=a2+b2+c2.
Теорема доказана.
3. Симметрия в пространстве
Теорема, в которой утверждается, что все диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке О, в которой они делятся пополам (рис ),
напоминает аналогичное предложение из планиметрии: диагонали
параллелограмма пересекаются в точке О, являющейся их серединой (рис. ).
Точка О - это центр симметрии параллелограмма. Аналогично называют и точку
О центром симметрии параллелепипеда, так как вершины А и С1, В и D1,
С и А1, D и В1 симметричны относительно точки О. Впервые понятие центра
симметрии встречается в ХVI в. в одной из теорем Клавиуса, гласящей: если
параллелепипед рассекается плоскостью, проходящей через центр, то он
разбивается пополам и, наоборот, если параллелепипед рассекается пополам,
то плоскость проходит через центр. Лежандр, который впервые ввел в
элементарную геометрию элементы учения о симметрии, говорит только о
симметрии относительно плоскости и дает следующее определение: две точки A
и B симметричны относительно плоскости a, если последняя перпендикулярна к
АВ в середине этого отрезка. Лежандр показывает, что у прямого
параллелепипеда имеются 3 плоскости симметрии, перпендикулярные к ребрам, а
у куба 9 плоскостей симметрии, из которых 3 перпендикулярны к ребрам, а
другие 6 проходят через диагонали граней.
Призма
Задачи
Литература
1. Глейзер Г.Д. Геометрия. Учебное пособие для старших классов. М.,
Просвещение, 1994.
2. Погорелов А.В. Геометрия. Учебное пособие для 7-11 классов. М.,
Просвещение, 1992.
| |  скачать работу |
Призма |
