Проблема абстракции в математике
лая их часть обладает
свойствами первоначального тела. В известной статье «О бесконечном»,
опираясь на теорию атомного строения материи и открытие квантов энергии, он
делает вывод, что «однородный континуум, который должен был бы допускать
неограниченное деление и тем самым реализовать бесконечное в малом, в
действительности нигде не встречается»[1].
Бесконечная делимость континуума представляет собой операцию,
существующую лишь в мышлении. Естественно поэтому, что понятие
потенциальной бесконечности, которое допускает такую возможность, не может
претендовать на адекватное описание физического процесса деления материи.
При таком процессе объект не только количественно уменьшается, но и
качественно изменяется. В современном естествознании мельчайшей частицей
вещества принято считать молекулу. Деление молекул дает новые качественные
образования — атомы, которые существенно отличаются от молекул. Разложение
атома дает различные элементарные частицы, также качественно отличающиеся
от атомов. Все это показывает, что процесс деления материи всегда связан с
качественными ее изменениями. Понятие же потенциальной бесконечности, как и
любое другое математическое понятие, отвлекается, абстрагируется от
качественных особенностей явлений и процессов, рассматривает их в «чистом»,
идеализированном виде. Вполне понятно поэтому, что такое бесконечное не
может существовать в природе.
Однако, отрицая объективный характер математической бесконечности,
приписывая ей роль априорной идеи в духе Канта, он делает уступку
идеализму. Впрочем, более внимательный анализ показывает, что для Гильберта
бесконечность, как и любое другое идеальное высказывание математической
теории, представляет прежде всего форму всеобщности. Одна из плодотворных
идей его теории доказательства состоит в том, чтобы свести математику «к
совокупности формул, во-первых, такиx, которым соответсвуют содержательные
сообщения конечных высказываний, т. е. по существу числовых равенств и
неравенств, и, во-вторых, других формул, которые сами по себе никакого
значения не имеют и которые являются идеальными образами нашей теории».
Эти идеальные образы и представляют обобщения конечных, частных
высказываний. Подобно тому как обращение с формулами становится возможным
благодаря наличию частных высказываний, «оперирование с бесконечным может
стать надежным только через конечное». Согласно финитной установке
Гильберта, в теории доказательства, или метатеории, которая имеет объектом
исследования формальные системы, утверждения должны быть интуитивно ясными,
а выводы должны убеждать. Поскольку актуальная бесконечность не
удовлетворяет этим требованиям, она не попользуется в метатеории.
Идея бесконечности допустима как основа разумного мышления, если не
забывать ее связь с конечными процессами и объектами.
Конструктивное направление в математике также не допускает
использование абстракции актуальной бесконечности, но в отличие от
интуиционизма (Л. Брауэра, Г. Вейля), представители этого направления (А.
А. Марков, Н. Л. Шанин и др.) опираются на строгое математическое понятие —
понятие алгоритма. Математический объект признается ими существующим лишь
постольку, поскольку имеется возможность построения его в рамках абстракции
потенциальной осуществимости, т. е. если построение объекта осуществимо
либо практически, либо потенциально.
Заключение.
История развития науки показывает, что теоретическое познание
начинается с возникновения отдельных абстракций, затем происходит их
объединение, или синтез, в рамках научных систем и теорий.
По мере углубления знаний о количественных отношениях и
пространственных формах действительного мира возрастает и абстрактность
самой математики и соответственно этому все более отдаленной и
опосредованной становится связь ее отдельных понятий с действительностью.
Математика, как и всякая другая наука, представляет собой не
конгломерат различных понятий, суждений и законов, а единую, цельную
систему научных знаний, в которой одни понятия и суждения зависят от
других. Пожалуй, ни в одной другой науке эти связи и отношения между
понятиями, суждениями и даже отдельными теориями нельзя выявить так четко и
определенно, как в математике.
Подобно тому как вопрос об отношении мышления к бытию является основным
для философии, вопрос об отношении математического знания к реальной
действительности является основным философским вопросом для математики. И
одно из главных мест в понимании отношения математических теорий к
реальности занимает понятие абстракции. Ведь именно на ней, в определенном
смысле, строятся все математические теории и выводы.
И подобно же тому как решение вопроса отношения математического знания
к реальной действительности определяет два направления в философии:
материализм, рассматривающий понятия математики как отражение определенных
свойств и отношений внешнего мира, и идеализм, считающий эти понятия либо
чистыми созданиями мысли, либо условными соглашениями, либо доопытными,
априорными идеями, словом, для идеалистов математические понятия – нечто
первичное, а материальный мир – вторичное. Так и различные взгляды на
абстракции различных идей, например, бесконечности, осуществимости и т. д.,
порождают различные школы философии.
Список литературы.
1] Рузавин Г.И. О природе математического знания. (Очерки по методологии
математики). М., 1968, 302 с.
2] Киселева Н.А. Математика и действительность. М., 1967.
3] Лукьянец В.С. Философские основания математического познания. Киев,
1980.
4] Яновская С.А. Методологические проблемы математики. М., 1972, 280 с.
5] Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М., 1983, 302с.
| |  скачать работу |
Проблема абстракции в математике |
