Ударные волны
м ударную адиабату в виде:
p/p0 = {((+1)V0 - ((-1)V}/{((+1)V - ((-1)V0},
(1.5)
В отличие от газов для жидких и твердых сред получить ударную адиабату
подобным образом нельзя, так как уравнения их состояния обычно неизвестны.
Поэтому в настоящее время ударные адиабаты жидких и твердых сред определяют
экспериментально, а по известной адиабате удается построить уравнения
состояния. Для этого давление и полную энергию вещества (жидкости или
твердого тела) необходимо представить в виде сумм:
p = px + pT + pe и E = Ex + ET + Ee ,
(1.6)
где px и Ex - упругие («холодные») компоненты давления и внутренней
энергии, обусловленные взаимодействием частиц (атомов, молекул) при T=0; pT
и ET - тепловые составляющие давления и энергии, обусловленные тепловым
движением частиц; pe и Ee - электронные составляющие давления и энергии,
обусловленные тепловым возбуждение электронов при температурах порядка 104
К и давлениях порядка 102 ГПа. При температурах T<104 К соотношения (1.6)
упрощаются:
p = px + pT и E = Ex + ET ,
(1.7)
Так как составляющие px и Ex связаны только с силами взаимодействия между
частицами и не зависят от температуры, то они представляют собой изотермы
при T=0 К: px = px (V) и Ex = Ex (V). Введем для твердого тела соотношение:
pT = ГET / V ,
Коэффициент Грюнайзена Г(V) равен отношению теплового давления pT к
плотности тепловой энергии ET / V, колеблется в диапазоне 1...3 при
нормальных условиях и связан с величинами px и V формулой:
Г(V) = 2/3 - V/2(d2px / dV2) / (dpx / dV) .
(1.8)
В жидких и твердых средах величины давления и энергии обусловлены как
тепловым движением частиц, так и их взаимодействием (тепловые и упругие
составляющие).
Для описания экспериментальных результатов наиболее привлекательна пара
переменных D-v . Это связано с тем, что для многих твердых сред выполняется
закон:
D = a + bv .
(1.9)
где a, b - константы. При фазовых переходах и заметной пористости материала
(начальной либо накопленной в процессе деструкционного деформирования)
наблюдаются отклонения от линейного закона (1.9).
Введем показатель сжимаемости ( = (V0 - V) / V0 = 1 - p0V = v/D . Тогда
D = a / (1 - b() и уравнение (1.2), описывающее закон сохранения импульса
на фронте УВ, примет вид при p0 ~ 0:
pГ = p0a( / (1 - b()2 ,
(1.10)
а уравнение для энергии при E0 ~ 0:
EГ = (pГ / 2p0 .
(1.11)
Давление и энергию (p и E) при произвольном сжатии можно связать с их
значениями на адиабате Гюгонио (pГ и EГ) уравнением состояния:
E = EГ + (p - pГ) / рГ ,
(1.12)
где Г = V(dp/dE)v - средняя величина параметра Грюнайзена, которую принято
считать практически независимой от давления, т.е. pГ = p0Г0 (нулевой индекс
соответствует значениям при комнатной температуре и нулевом давлении).
Для расчета изэнтроп необходимо использовать термодинамический закон dE
= TdS - pdV, который при dS =0 совместно с уравнениями (1.10) - (1.12)
позволяет последовательно вычислить значения p, V и E на изэнтропах.
2. Ударные волны в твердых телах.
2.1. Поведение твердого тела при ударно-волновом нагружении.
Твердое тело по своей природе является сложной квантово-механической
системой. Полное математическое описание такой системы невозможно, поэтому
обычно рассматриваются более простые приближенные модели. Ограничения,
определяющие тип модели, должны относиться к второстепенным процессам и
связаны с характером межатомных сил взаимодействия, типом кристаллической
решетки, ее дефектами и структурой, а также с основными микроскопическими
физико-механическими свойствами твердого тела.
Параметр Грюнайзена, характеризующий отношение теплового давления и
тепловой энергии решетки, для твердого тела задается следующим
соотношением:
Г = -d{ln((V)} / d{ln(} .
(2.1)
где ((V) = h(m / k - температура Дебая, разделяющая высокотемпературную и
квантовомеханическую низкотемпературную области ((m - максимальная частота
в дебаевском распределении частот); ( =V/V0 - безразмерная переменная (V -
текущий удельный объем, V0 - удельный объем металла при нормальных
условиях).
Процессы деформации и разрушения тела при нагружении изучают как с
позиций, основанных на дискретном строении тела, так и на основе
макроскопического подхода, связанного с представлением твердого тела в виде
области, заполненной непрерывной сплошной средой. Если изучение деформации
и разрушения твердого тела с микроскопических позиций основано на анализе
искажений кристаллической решетки и соответствующих им напряжений,
вызванных действием на тело внешних силовых факторов, то с позиций механики
сплошной среды движение частиц тела определяется в большей степени
физическим и механическим поведением среды. При этом модель твердого тела
может быть представлена сплошной средой с определенными физико-
механическими свойствами.
Механическое поведение твердых тел определяется сопротивлением сдвигу,
которое связано со свойствами упругости, пластичности и вязкости материала,
а также с изменением формы тела. Механическое поведение среды при
нагружении описывает уравнение:
(i = (i ((i , (i`, T, ...) ,
(2.2)
где (() - тензор напряжений, (() - тензор деформаций, ((`) – средняя
скорость деформации. Уравнение механического поведения среды (2.2)
устанавливают экспериментально или теоретически. При этом для суждения о
прочности тела необходимо также привлекать механические характеристики ((T
- предел текучести, (В - предел прочности) и критерии (условия) прочности.
Под прочностью понимают способность тела сохранять свою сплошность в
процессе деформации при нагружении.
В начальной стадии деформации ((i < (T) тело испытывает упругую
деформацию, затем с увеличением интенсивности напряжений ((i > = (T) оно
деформируется пластически и при ((i = (В) достигает предельного
состояния, при котором возможно нарушение сплошности среды, и переходит в
стадию разрушения.
Для процессов распространения ударных волн в металлах наибольший интерес
представляет динамическая сжимаемость. Свободную энергию твердого тела
можно представить в виде двух слагаемых: F = U0(V) + UD(V, T), где U0(V) -
энергия взаимодействия атомов тела при нулевых колебаний; UD(V, T) -
энергия колебательного движения атомов тела при T>0 К в приближении Дебая.
Тогда можно получить уравнение состояния Ми -
Грюнайзена:
p = - (dU0 / dV) + Г UD / V .
(2.3)
Приращение внутренней энергии (E при ударном нагружении твердого тела
характеризуется площадью, ограниченной кривой аb (рис.1). Часть энергии
(U0, которой в координатах p-V соответствует площадь, ограниченная кривой
«холодного» сжатия px (V), является упругой составляющей и не связана с
изменением температуры материала. Разность (UD = (E - (U0 определяет
приращение тепловой энергии, которая расходуется на нагрев материала при
адиабатическом сжатии. В металле, сжимаемом ударной волной, выделение
теплоты вызывает сжатие металла до состояния повышенной плотности и
пластической деформации металла в условиях, близких к адиабатическим из-за
кратковременности процесса ударного сжатия.
Рис. 1. Диаграмма ударного сжатия(pГ – адиабата Гюгонио; px – кривая
«холодного» сжатия при T=0К)
Аналогично внутренней энергии давление на ударной адиабате (2.3) можно
представить в виде двух слагаемых: упругого («холодного») px и теплового pT
давлений. Так как px (V) = = - (dU0 / dV) и pT (V, T) =
ГUD / V , то
p = px (V) + Г(E - U0) / V
(2.4)
Параметр Г не зависит от температуры, а его значение можно оценить из
следующих соображений. Запишем уравнение состояния (2.4) в виде
p + dU0 / dV = Г(E - U0) / V .
(2.5)
Подставив в него выражение для энергии (1.3) при условиях E0 = U0 и при p>>
p0 получим уравнение:
V dU0 / dV + Г U0 = - {Г pГ (V)V / 2}{1 + 2 / Г + V0 / V} ,
(2.6)
где p(V) заменяется на экспериментальное уравнение адиабаты ударного
нагружения pГ.
Параметр Грюнайзена Г определим путем сравнения двух состояний,
соответствующих ударному сжатию сплошного и пористого металлов, до одного и
того же объема V1. Так как разность давлений (p = p2 – p1 вызвана разностью
тепловых энергий ( UD = E2 - E1 = 0,5[p2 (V00 - V0) - p1 (V0 - V1)], где
V00 - начальный удельный объем пористого металла, то (p = ( pГ. Тогда в
соответствии с определением параметра Грюнайзена получим:
Г = V1( pT / ( UD = 2 / (p2V00 - p2V0) / [V1 (p2 - p1)]-1 ,
(2.7)
причем для металлов Г ~ 1,6 .... 2 .
Общие принципы построения уравнения состояния твердого тела по данным
испытаний на динамическое сжатие основаны на следующих допущениях: а)
измеряемые величины p, V
| |  скачать работу |
Ударные волны |
