Углеродные нанотрубки
n ребер, соотношение (2) уже доказано, и
пусть G - дерево, имеющее n+1 ребро. Так как граф G связен, то его можно
получить из некоторого связного графа G` добавлением одного ребра r.
Действительно, любой связный граф может быть получен следующим образом:
мы берем одно ребро, затем присоединяем к нему еще одно ребро так, чтобы
снова получился связный граф, затем присоединяем еще одно ребро (так, чтобы
снова получился связный граф) и т.д. Это возможно, если удастся его
вычертить «одним росчерком». А это, в свою очередь, возможно, если
разрешить «проходить» каждое ребро ровно два раза.
* * *
Докажем, что любой связный граф можно вычертить «одним росчерком», если
разрешить проходить каждое ребро точно два раза.
Если проходить граф описанным выше способом, то его можно сопоставить с
графом, у которого приходится по два ребра на каждое ребро исходного графа,
т.е. индекс каждой вершины в два раза больше, чем у исходного. Полученный
граф имеет вершины с четными индексами, а значит этот граф является
уникурсальным (его можно «нарисовать одним росчерком»).
* * *
Граф G` содержит n ребер и тоже не содержит контуров, т.е. является
деревом. По предположению индукции для дерева G` соотношение (2)
справедливо, и потому в G` имеется n+1 вершина. Заметим теперь, что только
один конец добавляемого ребра r является вершиной графа G` (в противном
случае, взяв в G` простую цепочку, соединяющую a и b, и добавив к этой
цепочке ребро r, мы получили бы контур в графе G). Следовательно, при
добавлении ребра r в графе G появляется одно новое ребро и одна новая
вершина. Иначе говоря, граф G имеет n+2 вершины и n+1 ребро, и потому
соотношение (2) для него справедливо. Проведенная индукция доказывает
равенство (2) для любого дерева.
Теперь можно приступить к доказательству теоремы Эйлера. Для ее
доказательства выделим из графа G максимальное его дерево G*, обозначим за
k - число «перемычек» (т.е. ребер графа G, не содержащихся в G*). Т.к. граф
G* является деревом, то он не содержит ни одного контура, а, следовательно,
он определяет на сфере лишь одну область (грань), и потому для него
соотношение (1) справедливо. Далее, добавляя одну «перемычку», число ребер
увеличивается на единицу, число вершин остается прежним, т.к. G* -
максимальное дерево, т.е. оно содержит все вершины графа G; число граней
увеличится на единицу за счет разбиения одной грани на две. Отсюда видно,
что добавление одной «перемычки» не меняет соотношения (1). Значит и
добавление k перемычек его не изменит. Т.е. граф G удовлетворяет
соотношению (1).
Из теоремы Эйлера можно получить несколько интересных следствий.
Обозначим через n3 число треугольных граней выпуклого многогранника,
через n4 - число его четырехугольных граней и т.д. Тогда соотношение один
можно переписать так:
В=2+Р-(n3+n4+n5+...). (3)
Т.к. каждое из ребер «принадлежит» ровно двум граням, то можно записать
следующую формулу:
Р=[pic] (4)
В каждой вершине же сходится минимум три грани, т.е. каждой грани
«принадлежит» максимум [pic] вершин, отсюда вытекает неравенство:
[pic] (5)
Объединяя (3), (4) и (5), получим
[pic]Умножая полученное на 6 и приводя подобные, получим:
[pic]
причем равенство возможно только в том случае, когда в вершине сходятся три
грани. В нашем случае, для идеальных фулеренов и для нанотрубок, запаянных
с обоих концов это выполнено. Отсюда видно, что в состав них может входить
ровно 12 пятиугольников.
Вторым следствием теоремы Эйлера является так называемая эйлерова
характеристика поверхности.
Пусть Q — поверхность, которая допускает разбиение на многоугольники;
это означает, что на поверхности можно «нарисовать» граф, разбивающий ее на
конечное число кусков, гомеоморфных кругу. Обозначим число вершин и ребер
графа через В и Р, а число многоугольников, на которые Q разбивается этим
графом,— через Г. Число
X (Q) = В - Р + Г (6)
называется эйлеровой характеристикой поверхности Q. Строго говоря, число
(6) определяется не самой поверхностью Q, а выбором ее разбиения на
многоугольники. Однако теорема Эйлера показывает, что для поверхности Q,
гомеоморфной сфере, эйлерова характеристика не зависит от выбора разбиения
на многоугольники: Х(Q)=2. Докажем, что и для любой поверхности Q ее
эйлерова характеристика Х(Q) не зависит от выбора разбиения на
многоугольники, а определяется самой поверхностью.
В самом деле, пусть на, поверхности Q «нарисованы» два графа G1, G2, каждый
из которых задает разбиение на многоугольники. Числа вершин, ребер и граней
разбиения, определяемого графом G1, обозначим через B1, Р1, Г1, а
соответствующие числа для разбиения, определяемого графом G2,— через В2,
Р2, Г2. Вообще говоря, графы G1 и G2 могут пересекаться в бесконечном числе
точек. Однако, «пошевелив» граф G1, мы сможем добиться того, чтобы G1 и G2
пересекались лишь в конечном числе точек.
Далее, если граф G1[pic] G2 несвязен, то, «пошевелив» графы G1, G2, можно
добиться того, чтобы они имели общие точки и, следовательно, их объединение
было связным. Итак, мы можем предполагать, что графы G1 и G2 пересекаются
лишь в конечном числе точек и имеют связное объединение G1[pic]G2. Считая
новыми вершинами все точки пересечения графов G1 и G2, а также все вершины
этих графов, мы найдем, что G1[pic]G2 является конечным связным графом (его
ребрами являются куски ребер графов G1 и G2, на которые они разбиваются
вершинами графа G1[pic]G2).
Обозначим через В и Р число вершин и ребер графа G1[pic]G2, a через Г —
число граней, на которые он разбивает поверхность Q. Идея состоит в том,
чтобы доказать равенства
[pic] (7)
из которых и будет следовать, что B1-P1+Г1=B2-P2+Г2. Оба равенства (7)
доказываются одинаково; докажем первое.
Пусть М - некоторый многоугольник («грань»), определяемый графом G1.
Обозначим число вершин и ребер графа G1[pic]G2, расположенных внутри М (не
на контуре), через В' и Р', а число вершин (а значит, и ребер) этого графа,
расположенных на контуре многоугольника М, через q. Далее, число граней,
определяемых графом G1[pic]G2 и содержащихся в М, обозначим через Г'. На
рис. 4 имеем В'=4, Р'=12, Г'=9, q=15.
Вырежем теперь многоугольник М (вместе с имеющейся на нем частью графа
G1[pic]G2) из поверхности Q. Так как М гомеоморфен кругу и, значит,
полусфере, то его можно второй («нижней») полусферой дополнить до
поверхности, гомеоморфной сфере (рис. 5). На этой сфере расположен связный
граф, имеющий В'+q вершин, Р'+q ребер и определяющий Г'+1 граней (Г' граней
содержится в М и еще одной гранью является нижняя полусфера).
Следовательно, согласно (1), (В'+q)- (Р'+q)+(Г'+1)=2, т. е.
В'-Р'+Г=1. (8)
Если теперь (возвращаясь к поверхности Q, на которой начерчен граф
G1[pic]G2) мы выбросим из графа G1[pic]G его часть, расположенную внутри М,
то получится новый граф, для которого, однако, число В-Р+Г останется таким
же, как и для графа G1[pic]G2. В самом деле, вместо В' вершин, Р' ребер и
Г' граней, имевшихся внутри М, мы теперь будем иметь 0 вершин, 0 ребер и
одну грань (сам многоугольник М), т. е. число В'-Р'+Г' заменится на 0-0+1,
а это, согласно (8), ничего не меняет.
[pic]
Рис. 4. Рис. 5.
Теперь ясно, что если мы из графа G1[pic]G2 выбросим его части,
расположенные внутри всех многоугольников, определяемых графом G1, то
получим новый граф G*, для которого число В-Р+Г будет таким же, как и для
графа G1[pic]G2 Иначе говоря,
В*-Р*+Г*=В-Р+Г (9)
где В* и Р* — число вершин и ребер графа G*, а Г* — число определяемых им
граней.
Заметим, наконец, что граф G* получается из G1 добавлением нескольких
новых вершин на ребрах. Добавление каждой новой вершины увеличивает число
ребер на 1 (поскольку добавленная вершина разбивает одно из ребер на два).
Следовательно, если переход от графа G1 к G* осуществляется добавлением k
новых вершин, то В*=B1 + k1*P*=P1+k. Кроме того, Г*=Г1 (так как граф G*
определяет те же грани, что и граф G1). Таким образом,
В*-Р*+Г*=(B1+k)-(P1+k)+Г1=В1-Р1+Г1,
а это, согласно (9), и дает первое из соотношений (7).
Итак эйлерова характеристика поверхности не зависит от ее разбиения на
многоугольники, а определяется самой поверхностью. Кроме того, если
поверхности Q1и Q2 гомеоморфны, то X(Q1)=Х(Q2).
Отсюда имеем еще одно следствие: т.к. эйлерова характеристика
поверхности для незакрытой трубки равна нулю, то, рассуждая также как и в
первом следствии, можно получить неравенство
[pic]
Это соотношение плохо описывает идеальную нанотрубку, но для реальной
нанотрубки с «дислокациями» оно качественно правильно.
Итак, в данной части работы была доказана теорема Эйлера, которая
позволила нам теоретически доказать необходимость перестройки графитовой
плоскости в случаях, когда реакции происходят с образо
| |  скачать работу |
Углеродные нанотрубки |
