Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

В.Б. Кирьянов Задача равновесия

дением
транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:

                           (a c )t = (c )t (a )t;
в частности:
            ( p2 a ) t = a t (p2) t  и  (a q 1) t = (q 1) t a t ,
а также
                    ((p1 , q 1() t = ((q 1) t, (p1) t( .

      Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления,  полученная
нами в строчных векторах  p1  и  p2  с умножением на матрицу a справа:

                p2 :    max (p2 , q 2(    при   p2  a (  p1 ,

в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части

                 q 1 :  min (p1 , q 1(   при   a q 1 (  q 2

в столбцовых векторах (p1)t и   (p2)t   с  умножением  на  транспонированную
матрицу  a t  слева:

       (p2 )t :    max ((q 2)t, (p2)t(    при   a t (p2) t  (  (p1 )t.



                             1.3. Задача выпуска

      1.Табличное  представление.  Задача  выпуска  является  "обратной"  по
отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного  производственного
управления. Процессом  производства  в  ней  является  процесс  сборки  ряда
взаимозаменяемых  сложных  изделий  из  нескольких  видов  простого   сырья.
Примерами задачи выпуска являются задачи  оптимального  планирования  сборки
изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:
- строительства из нескольких видов строительных материалов
- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,
- времени работы рабочих нескольких специальностей,
и им подобные задачи.
      При использовании m видов сырья для производства n  видов  изделий  во
всех задачах выпуска процесс производства описывается  матрицей  затрат   c,
составляющие которой
          ci  j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] (  0 ,

имеют обратные количественные  размерности  по  отношению  к  количественным
размерностям матрицы выпуска  a :  [ aj  i]  =  количество  j-изделий  /  на
единицу i-сырья.
      В условиях заданного вектора предложения сырья  q 1   и  заданных  цен
p2  на  производимые  изделия   в  количественной  (прямой)  части  обратной
задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий  q 2
,  а  в  ценовой  (двойственной)  части  -  наименее   расходные   цены   p1
потребляемого сырья:

|    |q 21  (  q 2n |    |
|p1 1|c1 1  (  c1 n |q 11|
|    |(  (  (       |    |
|(   |cm1  (  cm n  |(   |
|p1 m|              |q 1m|
|    |p21  (  p2 n  |    |

Формальным  отличием  приведенной  таблицы  от  таблицы  предыдущей   задачи
является,  как  мы  видим,   замена  сырьевых  переменных   "издельными"   и
наоборот.

      2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат ci  j  единиц
i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на  выпуск  q 21  ,  (  ,
q 2n  единиц изделий всех n  видов потребуется  q 11 , ( , q 1m :

            q 11  =   c1 1 q 21 + ( + c1 n q 2n  ( (c1  ,  q 2( ;
                                    . . .
             q 1m =  cm 1 q 21 + ( + cm n q 2n  (  (cm ,  q 2( ,

единиц  сырья  каждого  вида.   n-мерные  строки  матрицы  затрат,  служащие
коэффициентами балансовых соотношений:
                          c1 =  ( c1 1  (  c1 n );
                                    . . .
                          cm =  ( cm 1  (  cm n ),

есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент  производимых  из
него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:

                         q 1 =  q 1(q 2) =  c  q 2 ,

описывает линейный  процесс  пересчета  предложения  выпускаемых  изделий  в
спрос на потребляемое для их производства сырье.
      Допустимым является такое предложение изделий, при  котором  спрос  на
потребляемое сырье не превосходит его предложения:

                            q 1 =  c q 2 (  q 1.

      Доход такого производства, выражаемый  стоимостью  M(q 2)  продаваемых
по ценам  p2  предлагаемых количеств изделий:

            M(q 2) =  p2 1 q 21 + ( + p2 n q 2n  ( (p2 ,  q 2( ,

называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама  же
задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых  планов  производства
найти план наибольшей стоимости:

|                                   | |
|q 2 :   ( p2 , q 2( =  max ( p2 , q|.|
|2(                                 | |
|q 2                ( c  q 2 (  q 1 | |
|                                   | |

В  сущности,  все  задачи  равновесного  управления  являются  определениями
равновесных значений своих искомых неизвестных.
      3.Ценовая  часть  задачи  выпуска.  Одновременно,  затраты  на  каждую
единицу j-изделия  ci  j единиц сырья всех m видов по ценам p1 i: i=1,  (  ,
m, сообщают выпускаемым изделиям цены  p2 1 , ( , p2 n :

            p2  1 =  p1  1 c1  1 + ( +  p1 m cm 1 (  (p1 , d 1( ;
                                    . . .
            p2  n =  p1  1 c1  n + ( +  p1 m cm n (  (p1 , d n( .

m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:

|    |c1 1|         |c1 n| |
|d 1 |    |, ( , d n|    |,|
|(   |(   |(        |(   | |
|    |cm 1|         |cm n| |

есть  векторы  затрат  сырья  на  выпуск  изделия  каждого   вида.   Ценовые
балансовые соотношения
                            p2 =  p2(p1) =  p1  c

описывают   осуществляемое    матрицей    затрат    двойственное    линейное
преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.
       При  заданных  продажных  ценах  изделий  вложенное   в   них   сырье
приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:

                            p2 =  p1  c  (   p2 .

Как и  в  задаче  затрат  полученные  ценовые  условия  равновесия  выражают
необходимое условие продаж:  покупка готовых изделий не должна  быть  дороже
их самостоятельного изготовления.
      Стоимость расходуемого сырья:

          Mdual(p1) =  p1 1 q 11 + ( +  p1 m q 1m  (  (p1 ,  q 1( ,

составляет расход производства. Ищутся  допустимые  цены  сырья,  сообщающие
его стоимости наименьшее значение:

|                                   |
|p1 :   ( p1 , q 1( (  min ( p1 , q |
|1(                                 |
|p1              (  p1 c (  p2   .  |

      4.Каноническая пара задач.   Итак,  мы  описали  все  четыре  линейные
статические задачи равновесного производственного управления:
|                         |   |q 1|   | |
|- пару задач затрат:     |p2 |a  |q 2|:|
|                         |   |p1 |   | |


с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:

                q 1 :  min (p1 , q 1(   при   a q 1 (  q 2 ,

и  двойственной  ей  задачей  оптимального  планирования   цен   выпускаемых
изделий:

                p2 :  max (p2 , q 2(    при   p2  a (  p1  ;

|                         |   |q 2|   | |
|- и пару задач выпуска:  |p1 |с  |q 1|:|
|                         |   |p2 |   | |


с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:

               q 2 :   max ( p2 , q 2(     при  c q 2 (  q 1 ,

и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:

                p1 :   min ( p1 , q 1(     при  p1 c (  p2 .

       Как  мы  видим,  обе  задачи  обладают  "перекрестной"  симметрией  и
формально, то есть безотносительно к  экономическому  содержанию,  прямая  и
обратная  пары  задач  тождественны  друг  другу  с  точностью  до   -   1)-
переобозначения своих величин и -2)- перестановки между  собой  их  взаимно-
двойственных частей:

 min ( p1 , q 1(    при  a q 1 (  q 2                        max ( p2 , q 2(
                               при  c q 2 (  q 1,


 max ( p2 , q 2(    при  p2 a (  p1                         min ( p1 , q 1(
                               при  p1 c (  p2 .

Точная взаимозаменяемость задач достигается:
- заменой технологических матриц:
                                c   (    a ,

- и переобозначением количественных и ценовых векторов:

                         (p1; 2 )t   (    q 1; 2  .

При этом прямая часть задачи  затрат  становится  равносильной  двойственной
части задачи выпуска, а двойственная часть первой - прямой части второй.
      Будем называть взаимно-двойственную пару  задач  прямого  (затратного)
вида с прямой (количественной) частью на минимум  и  двойственной  (ценовой)
частью на максимум:
|   |   |   |       |                                  |
|   |q 1|   |       |q 1 :   min  ( p1 , q 1(     при  |
|   |   |   |       |a q 1 (  q 2 ,                    |
|p2 |a  |q 2|   :   |                                  |
|   |p1 |   |       |p2 :   max  ( p2 , q 2(     при   |
|   |   |   |       |p2 a (  p1 .                      |
|   |   |   |       |                                  |

-  канонической  парой  линейных  задач  статического   равновесия,   а   их
переменные  q 1 и  p2 - канонически сопряженными переменными.


                           1.4. Задача равновесия

      Физическое содержание задачи равновесия. В трехмерном случае: m,  n  (
3, наша задача имеет простое физическое  истолкование.  Во  внешнем  силовом
поле постоянной во  времени  и  пространстве  напряженности   p1   скалярная
линейная функция координат L(q 1):
                            L(q 1) = (p1 , q 1( ,

является потенциальной энергией  находящегося  в  точке  q 1  пробного  тела
единичной массы  (заряда).  Все  налагаемые  на  перемещения  пробного  тела
дополнительные ограничения называются в механике связями. Ограничения  нашей
задачи

                            q 1:    a q 1 (  q 2

задают в пространстве ее  переменной   q  1  выпуклую  многогранную  область
допустимых  перемещений.   В   итоге,   каноническая   задача   оптимального
производственного управления:

                q 1:  min ( p1 , q 1(   при  a q 1 (  q 2  - ?

- физически представляет собою  задачу  вычисления  в  ограниченной  области
пространства координат q 1 точки  наименьшей  потенциальной  энергии  L(q 1)
пробного тела единичной массы в постоянном внешнем силовом поле 
1234
скачать работу

В.Б. Кирьянов Задача равновесия

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ