В.Б. Кирьянов Задача равновесия
дением
транспонированных матриц, взятых в обратном порядке:
(a c )t = (c )t (a )t;
в частности:
( p2 a ) t = a t (p2) t и (a q 1) t = (q 1) t a t ,
а также
((p1 , q 1() t = ((q 1) t, (p1) t( .
Теперь, двойственная часть задачи равновесного управления, полученная
нами в строчных векторах p1 и p2 с умножением на матрицу a справа:
p2 : max (p2 , q 2( при p2 a ( p1 ,
в транспонированном виде записывается подобно своей прямой части
q 1 : min (p1 , q 1( при a q 1 ( q 2
в столбцовых векторах (p1)t и (p2)t с умножением на транспонированную
матрицу a t слева:
(p2 )t : max ((q 2)t, (p2)t( при a t (p2) t ( (p1 )t.
1.3. Задача выпуска
1.Табличное представление. Задача выпуска является "обратной" по
отношению к предыдущей задаче затрат задачей равновесного производственного
управления. Процессом производства в ней является процесс сборки ряда
взаимозаменяемых сложных изделий из нескольких видов простого сырья.
Примерами задачи выпуска являются задачи оптимального планирования сборки
изделий из нескольких видов комплектующих узлов, в частности:
- строительства из нескольких видов строительных материалов
- времени работы нескольких видов промышленного оборудования,
- времени работы рабочих нескольких специальностей,
и им подобные задачи.
При использовании m видов сырья для производства n видов изделий во
всех задачах выпуска процесс производства описывается матрицей затрат c,
составляющие которой
ci j [количество i-сырья / на единицу j-изделия] ( 0 ,
имеют обратные количественные размерности по отношению к количественным
размерностям матрицы выпуска a : [ aj i] = количество j-изделий / на
единицу i-сырья.
В условиях заданного вектора предложения сырья q 1 и заданных цен
p2 на производимые изделия в количественной (прямой) части обратной
задачи ищется наиболее доходное предложение (план производства) изделий q 2
, а в ценовой (двойственной) части - наименее расходные цены p1
потребляемого сырья:
| |q 21 ( q 2n | |
|p1 1|c1 1 ( c1 n |q 11|
| |( ( ( | |
|( |cm1 ( cm n |( |
|p1 m| |q 1m|
| |p21 ( p2 n | |
Формальным отличием приведенной таблицы от таблицы предыдущей задачи
является, как мы видим, замена сырьевых переменных "издельными" и
наоборот.
2.Количественная часть задачи выпуска. В условиях затрат ci j единиц
i-сырья на каждую единицу производимого j-изделия, на выпуск q 21 , ( ,
q 2n единиц изделий всех n видов потребуется q 11 , ( , q 1m :
q 11 = c1 1 q 21 + ( + c1 n q 2n ( (c1 , q 2( ;
. . .
q 1m = cm 1 q 21 + ( + cm n q 2n ( (cm , q 2( ,
единиц сырья каждого вида. n-мерные строки матрицы затрат, служащие
коэффициентами балансовых соотношений:
c1 = ( c1 1 ( c1 n );
. . .
cm = ( cm 1 ( cm n ),
есть векторы затрат сырья каждого вида на весь ассортимент производимых из
него изделий. Матричное представление полученных балансовых соотношений:
q 1 = q 1(q 2) = c q 2 ,
описывает линейный процесс пересчета предложения выпускаемых изделий в
спрос на потребляемое для их производства сырье.
Допустимым является такое предложение изделий, при котором спрос на
потребляемое сырье не превосходит его предложения:
q 1 = c q 2 ( q 1.
Доход такого производства, выражаемый стоимостью M(q 2) продаваемых
по ценам p2 предлагаемых количеств изделий:
M(q 2) = p2 1 q 21 + ( + p2 n q 2n ( (p2 , q 2( ,
называется функцией стоимости количественной части обратной задачи. Сама же
задача состоит в том, чтобы на множестве ее допустимых планов производства
найти план наибольшей стоимости:
| | |
|q 2 : ( p2 , q 2( = max ( p2 , q|.|
|2( | |
|q 2 ( c q 2 ( q 1 | |
| | |
В сущности, все задачи равновесного управления являются определениями
равновесных значений своих искомых неизвестных.
3.Ценовая часть задачи выпуска. Одновременно, затраты на каждую
единицу j-изделия ci j единиц сырья всех m видов по ценам p1 i: i=1, ( ,
m, сообщают выпускаемым изделиям цены p2 1 , ( , p2 n :
p2 1 = p1 1 c1 1 + ( + p1 m cm 1 ( (p1 , d 1( ;
. . .
p2 n = p1 1 c1 n + ( + p1 m cm n ( (p1 , d n( .
m-мерные столбцовые векторы матрицы затрат:
| |c1 1| |c1 n| |
|d 1 | |, ( , d n| |,|
|( |( |( |( | |
| |cm 1| |cm n| |
есть векторы затрат сырья на выпуск изделия каждого вида. Ценовые
балансовые соотношения
p2 = p2(p1) = p1 c
описывают осуществляемое матрицей затрат двойственное линейное
преобразование цен потребляемого сырья в цены производимых из них изделий.
При заданных продажных ценах изделий вложенное в них сырье
приобретает ценность, не меньшую ценности выпускаемых из него изделий:
p2 = p1 c ( p2 .
Как и в задаче затрат полученные ценовые условия равновесия выражают
необходимое условие продаж: покупка готовых изделий не должна быть дороже
их самостоятельного изготовления.
Стоимость расходуемого сырья:
Mdual(p1) = p1 1 q 11 + ( + p1 m q 1m ( (p1 , q 1( ,
составляет расход производства. Ищутся допустимые цены сырья, сообщающие
его стоимости наименьшее значение:
| |
|p1 : ( p1 , q 1( ( min ( p1 , q |
|1( |
|p1 ( p1 c ( p2 . |
4.Каноническая пара задач. Итак, мы описали все четыре линейные
статические задачи равновесного производственного управления:
| | |q 1| | |
|- пару задач затрат: |p2 |a |q 2|:|
| | |p1 | | |
с прямой задачей оптимального планирования закупок сырья:
q 1 : min (p1 , q 1( при a q 1 ( q 2 ,
и двойственной ей задачей оптимального планирования цен выпускаемых
изделий:
p2 : max (p2 , q 2( при p2 a ( p1 ;
| | |q 2| | |
|- и пару задач выпуска: |p1 |с |q 1|:|
| | |p2 | | |
с прямой задачей оптимального планирования выпуска изделий:
q 2 : max ( p2 , q 2( при c q 2 ( q 1 ,
и ей двойственной задачей оптимального оценивания сырья:
p1 : min ( p1 , q 1( при p1 c ( p2 .
Как мы видим, обе задачи обладают "перекрестной" симметрией и
формально, то есть безотносительно к экономическому содержанию, прямая и
обратная пары задач тождественны друг другу с точностью до - 1)-
переобозначения своих величин и -2)- перестановки между собой их взаимно-
двойственных частей:
min ( p1 , q 1( при a q 1 ( q 2 max ( p2 , q 2(
при c q 2 ( q 1,
max ( p2 , q 2( при p2 a ( p1 min ( p1 , q 1(
при p1 c ( p2 .
Точная взаимозаменяемость задач достигается:
- заменой технологических матриц:
c ( a ,
- и переобозначением количественных и ценовых векторов:
(p1; 2 )t ( q 1; 2 .
При этом прямая часть задачи затрат становится равносильной двойственной
части задачи выпуска, а двойственная часть первой - прямой части второй.
Будем называть взаимно-двойственную пару задач прямого (затратного)
вида с прямой (количественной) частью на минимум и двойственной (ценовой)
частью на максимум:
| | | | | |
| |q 1| | |q 1 : min ( p1 , q 1( при |
| | | | |a q 1 ( q 2 , |
|p2 |a |q 2| : | |
| |p1 | | |p2 : max ( p2 , q 2( при |
| | | | |p2 a ( p1 . |
| | | | | |
- канонической парой линейных задач статического равновесия, а их
переменные q 1 и p2 - канонически сопряженными переменными.
1.4. Задача равновесия
Физическое содержание задачи равновесия. В трехмерном случае: m, n (
3, наша задача имеет простое физическое истолкование. Во внешнем силовом
поле постоянной во времени и пространстве напряженности p1 скалярная
линейная функция координат L(q 1):
L(q 1) = (p1 , q 1( ,
является потенциальной энергией находящегося в точке q 1 пробного тела
единичной массы (заряда). Все налагаемые на перемещения пробного тела
дополнительные ограничения называются в механике связями. Ограничения нашей
задачи
q 1: a q 1 ( q 2
задают в пространстве ее переменной q 1 выпуклую многогранную область
допустимых перемещений. В итоге, каноническая задача оптимального
производственного управления:
q 1: min ( p1 , q 1( при a q 1 ( q 2 - ?
- физически представляет собою задачу вычисления в ограниченной области
пространства координат q 1 точки наименьшей потенциальной энергии L(q 1)
пробного тела единичной массы в постоянном внешнем силовом поле
| | скачать работу |
В.Б. Кирьянов Задача равновесия |