Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Векторы

.
    Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.
     Решение.
    Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).
    Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:
      АВ х СD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.
    Последнее и означает, что АВ         СD.

 Задача 2.
     Дан  произвольный  треугольник  АВС.  Доказать,  что  можно   построить
треугольник, стороны которого  равны  и  параллельны  медианам  треугольника
АВС.



    Решение.
    Обозначим медианы треугольника АВС через ВЕ,  СF  и  обозначим  векторы,
идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:
                           ВС = а, СА = в, АВ = с
(рис.8). Тогда
                     АD = АВ + ВD = АВ +[pic]= с + [pic]
аналогично определяются и другие медианы:
                       ВЕ = а + [pic], СF = в + [pic]
    Так как, в силу условия замкнутости
                        ВС + СА + АВ = а + в + с =0,
то мы имеем:
  АD + ВЕ + СF = ( с + [pic]) + (а + [pic]) + ( в + [pic]) = [pic]( а + в +
                             с) = [pic] х 0 = 0.
    Следовательно, отложив от точки В, вектор В1С1 = ВЕ и   от  точки  С1  –
вектор С1D1 = СF, мы получим.
                   А1В1 + В1С1 + С1D1 = АD + ВЕ + СF = 0.
    А  это  значит  (в  силу  условия  замкнутости),  что  ломаная  А1В1С1D1
является замкнутой, т.е. точка D1 совпадает с А1.
    Таким образом, мы получаем треугольник А1В1С1 (рис.9), стороны  которого
равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника.
    Задача 3.
    Доказать, что для любого треугольника имеет место формула
               с2 = а2 + в2 – 2ав х соs С (теорема косинусов)



    Решение.
    Положим: а = СВ, в = СА,
 с = АВ (рис.10).
    Тогда с = а – в, и мы имеем
 (учитывая, что угол между векторами а и в            равен С):

          с2 = ( а – в )2 = а2 – 2ав  + в2 = а2 – 2ав х соs С + в2.
    Задача 4.
    Докажите, что сумма квадратов  диагоналей  параллелограмма  равна  сумме
квадратов его сторон.



Решение.
    Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм  (рис.11).  Имеем  векторные
равенства
                         АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ.
    Возведем эти равенства в квадрат. Получим:
           АВ2 + 2 АВ х АD + АD2 = АС2, АВ2 – 2АВ х АD + АD2 = DВ2
    Сложим эти равенства почленно. Получим:
                          2АВ2 + 2 АD2 = АС2 + DВ2.
     Так  как  у  параллелограмма  противолежащие  стороны  равны,  то   это
равенство и означает, что сумма квадратов диагоналей  параллелограмма  равна
сумме квадратов его сторон, что и требовалось доказать.

     Задача 5.
    Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку  D
( х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны.
    Решение.
 Вектор АВ имеет координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y –1.
 Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки
                        D:            х = -2, y = 0.


    Задача 6.
    Даны два вектора АВ и СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С  (  -1;
-2; 2),        D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг  другу  или
нет.
    Решение.
    Найдем сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3).
    Вычислим теперь скалярное произведение этих векторов:
                           AB х CD = ( -3) х 3 + 3 х 3 + 0 х 3 = 0.
    Последнее озночает, что АВ         СD.

     Рассмотренные  выше  примеры  задач  показывают,  что  векторный  метод
является весьма мощных средством решения геометрических и многих  физических
(и технических) задач.



                                 Содержание:



    1. Что такое вектор?
    2. Сложение векторов.
    3. Равенство векторов.
    4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.
    5. Свойства операций над векторами.
    6. Доказательства и решение задач.



                          Используемая литература.


    1. «Векторы в школьном курсе геометрии». (1976 г.)
                                                  В.А.Гусев. Ю.М.Колягин.
Г.Л.Луканкин.

2. «Векторы в курсе геометрии средней школы. (1962 г.)

В.Г.Болтянский. И.М.Яглом.


12
скачать работу

Векторы

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ