Великие математики второй половины XVII столетия
сов практики
Блез Паскаль был сыном Этьена Паскаля, корреспондента Мерсенна; кривая
«улитка Паскаля» названа в честь Этьена. Блез быстро развивался под
присмотром своего отца, и уже в шестнадцатилетнем возрасте он открыл
«теорему Паскаля» о шестиугольнике, вписанном в коническое сечение. Эта
теорема была опубликована в 1641 г. на одном листе бумаги и повлияла на
Дезарга. Через несколько лет Паскаль изобрел счетную машину. Когда ему было
двадцать пять лет, он решил поселиться как янсенист в монастыре Пор-Рояль и
вести жизнь аскета, но продолжал при этом уделять время науке и литературе.
Его трактат об «арифметическом треугольнике», образованном биномиальными
коэффициентами и имеющем применение в теории вероятностей, появился
посмертно в 1664 г. Мы уже упоминали о его работах по интегрированию и о
его идеях относительно бесконечного и бесконечно малого, которые оказали
влияние на Лейбница. Паскаль первый придал удовлетворительную форму
принципу полной индукции
Жерар Дезарг был архитектором в Лионе. Он автор книги о перспективе
(1636 г.). Его брошюра с любопытным названием «Первоначальный набросок
попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью»,
1639 г.) содержит некоторые из основных понятий синтетической геометрии
такие, как точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения,— все
это на курьезном ботаническом языке. Свою «теорему Дезарга» о перспективном
отображении треугольников он обнародовал в 1648 г. Плодотворность этих идей
в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии.
Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным
пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому,
мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим
методом греков и Кавальери, так и алгебраическим методом Декарта и Виллиса.
Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно
появились в лице Ньютона и Лейбница. Очень много написано по вопросу о
приоритете этого открытия, но теперь установлено, что оба они открыли свои
методы независимо друг от друга. Ньютон первым открыл анализ (в 1665— 1666
гг.), Лейбниц в 1673—1676 гг., но Лейбниц первый выступил с этим в печати
(Лейбниц в 1684—1686 гг., Ньютон в 1704—1736 г. г. (посмертно)). Школа
Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона.
Исаак Ньютон был сыном землевладельца в Линкольншире. Он учился в
Кембридже, возможно, что у Исаака Барроу, который в 1669 г. передал ему
свою профессорскую кафедру (примечательное явление в академической жизни),
так как Барроу открыто признал превосходство Ньютона. Ньютон оставался в
Кембридже до 1696 г., когда он занял пост инспектора, а позже начальника
монетного двора. Его исключительный авторитет в первую очередь основан на
его «Математических принципах натуральной философии» (Philisophiae
naturalis principia mathematica, 1687 г.), огромном томе, содержащем
аксиоматическое построение механики и закон тяготения — закон, управляющий
падением яблока на землю и движением Луны вокруг Земли. Ньютон строго
математически вывел эмпирически установленные законы Кеплера движения
планет из закона тяготения обратно пропорционально квадрату расстояния и
дал динамическое объяснение приливов и многих явлений при движении небесных
тел. Он решил задачу двух тел для сфер и заложил основы теории движения
Луны. Решив задачу о притяжении сфер, он тем самым заложил основы и теории
потенциала. Его аксиоматическая трактовка требовала абсолютности
пространства и абсолютности времени.
Открытие Ньютоном флюксий стоит в тесной связи с его изучением
бесконечных рядов по «Арифметике» Валлиса. При этом Ньютон обобщил
биномиальную теорему на случаи дробных и отрицательных показателей и таким
образом открыл биномиальный ряд.
Ньютон писал также о конических сечениях и о плоских кривых третьего
порядка. В «Перечислении линий третьего порядка» (Enumeratio linearum
tertii ordinis, 1704 г.) он дал классификацию плоских кривых третьей
степени на 72 вида, исходя из своей теоремы о том, что каждую кубическую
кривую можно получить из «расходящейся параболы» y2 = ax3 +
bx2 + cx + d при центральном проектировании одной плоскости на другую. Это
было первым важным новым результатом, полученным путем применения алгебры к
геометрии, так как все предыдущие работы были просто переводом Аполлония на
алгебраический язык Ньютону принадлежит также метод получения приближенных
значений корней численных уравнении, который он разъяснил на примере
уравнения x3 - 2 x - 5 = 0, получив х ( 2,09455147.
Готфрид Вильгельм Лейбниц родился в Лейпциге, а большую часть жизни
провел при ганноверском дворе, на службе у герцогов, один из которых стал
английским королем под именем Георга I.
Кроме философии, он занимался историей, теологией, лингвистикой,
биологией, геологией, математикой, дипломатией и «искусством изобретения».
Одним из первых после Паскаля он изобрел счетную машину, пришел к идее
парового двигателя, интересовался китайской философией и старался
содействовать объединению Германии. Основной движущей пружиной его жизни
были поиски всеобщего метода для овладения наукой, создания изобретений и
понимания сущности единства вселенной. «Общая наука» (Scientia
universalis), которую он пытался построить, имела много аспектов, и
некоторые из них привели Лейбница к математическим открытиям. Его поиски
«всеобщей характеристики» привели его к занятиям перестановками,
сочетаниями и к символической логике; поиски «всеобщего языка», в котором
все ошибки могли выявлялись бы как ошибки вычислений, привели его не только
к символической логике, но и к многим новшествам в математических
обозначениях. Лейбниц — один из самых плодовитых изобретателей
математических символов. Немногие так хорошо понимали единство формы и
содержания. На этом философском фоне можно понять, как он изобрел анализ:
это было результатом его поисков «универсального языка», в частности языка,
выражающего изменение и движение.
Лейбниц нашел свое новое исчисление между 1673 и 1676 гг. под личным
влиянием Гюйгенса и в ходе изучения Декарта и Паскаля. Его подстегивало то,
что он знал, что Ньютон обладал подобным методом.
Впервые анализ в форме Лейбница был изложен им в печати в 1684 г. в
шестистраничной статье в Acta Eruditorum, математическом журнале, который
был основан при его содействии в 1682 г.
Характерно название этой статьи: «Новый метод для максимумов и
минимумов, а также для касательных, для которого не являются препятствием
дробные и иррациональные количества, и особый вид исчисления для этого».
Изложение было трудным и неясным, но статья содержала наши символы dx, dy и
правила дифференцирования, включая d (uv) = udv + vdu и дифференцирование
дроби, а также условие dy = 0 для экстремальных значений и d 2y = 0 для
точек перегиба. За этой статьей последовала в 1686 г. другая статья с
правилами интегрального исчисления в с символом ( (она была написана в
форме рецензии).
Нашими обозначениями в анализе мы обязаны Лейбницу, ему принадлежат и
названия «дифференциальное исчисление» и «интегральное исчисление».
Благодаря его влиянию стали пользоваться знаком « = » для равенства и
знаком « • » для умножения. Лейбницу принадлежат термины «функция» и
«координаты», а также забавный термин «оскулирующий» (целующий).
| | скачать работу |
Великие математики второй половины XVII столетия |