Вычисление координат центра тяжести плоской фигуры

1. Координаты центра тяжести.

         Пусть на плоскости Oxy дана система материальных точек
                    P1(x1,y1); P2(x2,y2); ... , Pn(xn,yn)
         c массами m1,m2,m3, . . . , mn.
         Произведения ximi и yimi называются статическими моментами массы mi
    относительно осей Oy и Ox.
         Обозначим через xc и yc координаты центра тяжести данной системы.
    Тогда координаты центра тяжести описанной материальной системы
    определяются формулами:

         [pic]

         [pic]

         Эти формулы используются при отыскании центров тяжести различных
    фигур и тел.

                      2. Центр тяжести плоской фигуры.

         Пусть данная фигура, ограниченная линиями y=f1(x), y=f2(x), x=a,
    x=b, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностною
    плотность, то есть массу единицы площади поверхности, будем считать
    постоянной и равной ( для всех частей фигуры.
         Разобьем данную фигуру прямыми x=a, x=x1, . . . , x=xn=b на полоски
    ширины (x1,   (x2, . . ., (xn. Масса каждой полоски будет равна
    произведению ее площади   на   плотность (. Если каждую полоску
    заменить прямоугольником (рис.1)  с основанием (xi и высотой f2(()-
    f1((), где ([pic], то масса полоски будет приближенно равна
         [pic] (i = 1, 2, ... ,n).
         Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре
    соответствующего прямоугольника:
         [pic]



         Заменяя теперь каждую полоску материальной точкой, масса которой
    равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести
    этой полоски, найдем приближенное значение центра тяжести всей фигуры:

         [pic]
         Переходя к пределу при [pic], получим точные координаты центра
    тяжести данной фигуры:

         [pic]

         Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей
    постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как видно,
    координаты центра тяжести не зависят от плотности ( фигуры (в процессе
    вычисления ( сократилось).



                 3. Координаты центра тяжести плоской фигуры

         В предыдущей главе указывалось, что координаты центра тяжести
    системы материальных точек P1, P2, . . ., Pn c массами m1, m2, . . .,
    mn определяются по формулам

                                   [pic].

         В пределе при [pic] интегральные суммы, стоящие в числителях и
    знаменателях дробей, перейдут в двойные интегралы, таким образом
    получаются точные формулы для вычисления координат центра тяжести
    плоской фигуры:

                                  [pic](*)
         Эти формулы, выведенные для плоской фигуры с поверхностной
    плотностью 1, остаются в силе и для фигуры, имеющей любую другую,
    постоянную во всех  точках  плотность (.
         Если же поверхностная плотность переменна:

                                    [pic]

         то соответствующие формулы будут иметь вид

                                    [pic]

         Выражения

                                    [pic]
         и
                                    [pic]
         называются статическими моментами плоской фигуры D относительно
    осей Oy и Ox.
         Интеграл [pic] выражает величину массы рассматриваемой фигуры.
                            4. Теоремы Гульдена.
         Теорема 1.
         Площадь поверхности, полученной при вращении дуги плоской кривой
         вокруг оси,  лежащей в плоскости этой кривой и не пересекающей ее,
         равна длине дуги кривой, умноженной на длину окружности, описанной
         центром тяжести дуги.

         Теорема 2.
         Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси, не
         пересекающей ее и расположенной в плоскости фигуры, равен
         произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной
         центром тяжести фигуры.



                                 II.Примеры.

         1)
         Условие: Найти координаты центра тяжести полуокружности X2+Y2=a2,
    расположенной над осью Ox.
         Решение: Определим абсциссу центра тяжести: [pic],
         [pic]

         Найдем теперь ординату центра тяжести:

         [pic]



         2)
         Условие: Определить координаты центра тяжести сегмента параболы
    y2=ax, отсекаемого прямой, х=а (рис. 2)



         Решение: В данном случае [pic] поэтому
         [pic]

         [pic] (так как сегмент симметричен относительно оси Ox)

         3)
         Условие: Определить координаты центра тяжести четверти эллипса
    (рис. 3)
                                    [pic]
         полагая, что поверхностная плотность во всех точках равна 1.



         Решение: По формулам (*) получаем:
         [pic]
         [pic]
    4)
    Условие:
    Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии [pic].

    Решение:
1Так как кривая симметрична относительно оси Oy, то ее центр тяжести лежит
    на оси Oy, т.е. Xc= 0. Остается найти [pic]. Имеем [pic]  тогда [pic]
     длина дуги

    [pic]

    Следовательно,

    [pic]

    5)
    Условие:
    Пользуясь теоремой Гульдена найти координаты центра тяжести четверти
    круга
    [pic].
    Решение:
    При вращении четверти круга вокруг оси Ох получим полушар, объем
    которого равен [pic]
    Согласно второй теореме Гульдена, [pic] Отсюда [pic] Центр тяжести
    четверти круга лежит на оси симметрии, т.е. на биссектрисе I
    координатного угла, а потому [pic]



                    III. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

    1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. «Высшая математика в
       упражнениях и задачах», часть 2, «Высшая школа», Москва, 1999.
    2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления для
       втузов», том 2,   «Наука», Москва, 1965

скачать работу

Отправка СМС бесплатно