Влияние математики на философию и логику
и — египтянами, должна быжа существовать
довольно развитая совокупность математических знаний, непосредственно
связанных с различными вычислениями и измерениями. С другой стороны, трудно
допустить, чтобы при получении этого знания не применялись те или иные
принципы позднее возникшей логики.
Применение логических правил рассуждения нельзя отождествлять с
обоснованием и дальнейшей разработкой этих правил. Человек, не знакомый с
логикой, может тем не менее рассуждать правильно, т. е. приходить к
истинным заключениям. Разумеется, только у греков математика превратилась в
систематизированное научное знание, стала теоретической наукой, в которой
широко использовались не только дедуктивные рассуждения, но и позднее
возникший аксиоматический метод.
Все это показывает, что генетически логика вряд ли могла возникнуть
раньше математики. Во всяком случае, если говорить о ясно сформулированных
принципах дедуктивных рассуждений и их использовании и математике, то
впервые они были развиты греческими философами. Аристотель и стоики в
значительной мере усовершенствовали и систематизировали эти принципы, так
что их работа представляет скорее не начало, а завершение длительного этапа
многочисленных исследований в этой области, восходящих еще к VI в. до н. э.
Вряд ли, однако, тесную взаимосвязь и взаимодействие между логикой и
математикой можно рассматривать как аргумент в пользу их идентичности, или
тождества. И такое доказательство их идентичности вовсе не есть дело
деталей, как в этом пытается уверить нас Рассел, хотя, как показала
дальнейшая критика, не все эти детали являются убедительными и бесспорными.
«...Начиная с предпосылок,— пишет он,— которые всеми будут допускаться как
принадлежащие к логике, и придя посредством дедукции к результатам, которые
с очевидностью принадлежат к математике, мы находим, что там не имеется
пункта, где может быть проведена разграничительная линия, с логикой слева и
математикой справа».
Но как мы уже видели, такие аксиомы, как аксиома бесконечности или
аксиома свободного выбора, относятся скорее к теории множеств, т. е. к
математике, чем к логике. Даже само определение понятия числа в терминах
теории классов, которое играет такую важную роль в осуществлении программы
логицизма, является в сущности определением в рамках теории множеств,
поскольку термин класс всегда можно заменить термином множество. Наконец,
некоторые исходные понятия теории множеств неявно используются в самом
построении логических исчислений, которые применяются Фреге и Расселом при
дедукции теорем из аксиом.
Все это показывает, что в подлинном смысле слова речь может идти не о
строгой дедукции всей чистой математики из логики, а о тесной взаимосвязи
между ними в процессе математического познания и исследования оснований
обеих наук. Впрочем, это обстоятельство в ряде мест своей книги «Введение в
математическую философию» и в приведенных выше цитатах признает, кажется, и
сам Рассел.
С философской точки зрения при решении вопроса о соотношении логики и
математики более существенными являются аргументы, относящиеся не столько к
технической стороне самих деталей дедукции математики из логики, сколько к
выяснению общности и различия их объектов исследования. Как мы подробно
покажем в последней главе, предметом изучения современной математики
являются различные абстрактные формы и структуры, которые обладают той
особенностью, что в рамках математического исследования они могут
рассматриваться независимо от конкретного содержания предметов и процессов,
которым присущи эти формы и структуры. Простейшими из таких структур
являются количественные отношения и пространственные формы, которые
изучаются в элементарной и высшей математике. В процессе дальнейшего
абстрагирования и обобщения возникают новые более сложные структуры и их
комбинации, которые были названы абстрактными структурами. Такие структуры
оказываются применимыми для изучения не только отношений между величинами,
числами и обычными пространственными фигурами, но и объектов совершенно
иной природы. С их помощью можно исследовать, например, логические
отношения между высказываниями и анализировать теорию дедуктивного вывода,
как это делается в математической логике.
При рассмотрении вопроса о соотношении логики и математики нередко
возникают недоразумения в силу неоднозначности употребления самого термина
«логика».
Во-первых, можно говорить о логике как науке, изучающей законы
правильного мышления. В этом смысле логика понимается как исследование
структур и форм мысли и поэтому справедливо называется формальной логикой.
Во-вторых, в рамках самой формальной логики можно выделить такую
важную и доминирующую ее отрасль, как теория дедуктивного вывода, и
соответственно говорить о дедуктивной логике.
В-третьих, нередко под логикой понимают применение математических
методов для построения формальной теории дедуктивного вывода. Для этого
обычно строятся различные формально-логические системы, или языки, с
помощью которых оказывается возможным точно выразить логические взаимосвязи
между высказываниями в процессе вывода. Поскольку при этом высказывания
рассматриваются как некоторые дискретные объекты, то в принципе вполне
допустимо интерпретировать отображающие их формальные системы с помощью
объектов нелогической природы. Хорошо известно, например, что исчисление
высказываний интерпретируется с помощью релейно-контактных схем и других
технических устройств. Этот пример показывает, что в данном случае речь
действительно идет о применении некоторых общих формальных методов к
логике. Поэтому совершенно справедливо такая отрасль исследований получила
название математической логики.
В-четвертых, в рамках не только общей, но и математической логики
можно выделить целый ряд разделов, теорий и формально-логических систем,
которые исследуют разные аспекты не только дедуктивной теории вывода, но и
тесно связанных с ней проблем, например определения терминов и понятий,
семантической теории значений и т. п. В этом смысле часто говорят,
например, о многозначной, модальной, вероятностной, эпистемической,
нормативной и других логиках. Подобного рода не-классические логики
анализируют такие типы логического вывода, в котором высказывания
характеризуются не с помощью двух значений истинности, какими являются
истина и ложь, но учитывают и некоторые иные их характеристики, например
возможность и необходимость, степень подтверждения, или вероятность и
другие. В настоящее время исследования по неклассическим логикам получили
заметный размах в связи с потребностями не только специальных наук, но и
философии, в силу чего возникло даже особое направление под названием
философской логики.
Какую же логику имеют в виду Рассел и его последователи, когда говорят
о дедукции из нее чистой математики?
Как мы уже видели, для такой дедукции у Фреге используется формальная
система «Основных законов арифметики», а у Рассела и Уайтхеда —
логицистическая система «Principia Mathematica». Поэтому когда они говорят
о логике, то подразумевают под ней математическую логику, представленную в
виде формализованной логико-математической системы, т. е. речь в этом
случае идет о логике в четвертом значении термина «логика». При этом важно
обратить внимание на то, что в такой системе логические термины и принципы
строго не отделены от математических, а иногда отдельные принципы вроде
аксиомы бесконечности и свободного выбора без какой-либо аргументации
объявляются логическими, хотя большинство математиков относит их к теории
множеств, а следовательно, к математике.
Если бы логицисты под логикой понимали математическую логику в
собственном смысле этого слова, т. е, подразумевали под ней применение
математических методов к логике, что соответствует третьему значению
термина «логика» в вышеприведенной классификации, тогда было бы невозможно
вывести из нее чистую математику. К тому же при таком понимании следовало
скорее рассматривать саму логику или по крайней мере ее формально-
логические системы как часть математики, кав науки об абстрактных
структурах. Именно так подходят к решению этого вопроса формалисты и
интуиционисты.
Таким образом, несостоятельность программы логицизма, выдвинутой Г.
Фреге и Б. Расселом на ранней стадии эволюции этого направления,
подтверждается не только чисто научными, логико-математическими
аргументами, но более общими, философскими соображениями. Вот почему
логицизм в той форме, в какой он был сформулирован Б. Расселом и который
часто называют радикальным, в настоящее время утратил прежнюю популярность.
В 60-е годы известный американский логик и математик Алонзо Чёрч на
Стэнфордском конгрессе по логике, методологии и философии науки предложил
новый вариант логицизма, который можно назвать умеренным логицизмом".
Радикальный логицизм, по мнению Чёрча, характеризует отношение между
логикой и математикой, исходя из двух основных принципов:
(1) все математические понятия могут быть определены в терминах чисто
логических понятий или, как предпочитает говорить Чёрч, «математический
словарь есть
часть логического словаря»;
(2) все математические предложения (аксиомы, посту
| |  скачать работу |
Влияние математики на философию и логику |
