Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Алгебраическая проблема собственных значений

се
собственные значения матрицы напряжений. Такая потребность возникает,  если
конструктор вместо теории разрушения при максимальном нормальном напряжении
намерен пользоваться какой-либо другой теорией разрушения. Чтобы найти  все
собственные  значения,  обратимся  к  методу  преобразований   Якоби,   для
реализации которого воспользуемся подпрограммой Е1GЕМ  из  пакета  программ
для  научных  исследований  фирмы  IВМ,  предназначенной  для  симметричных
матриц. Так как матрица симметрична, то она содержит лишь  шесть  различных
элементов. Для экономии памяти подпрограмма ЕIGЕМ использует матрицу 3Х3  в
компактной  форме,  при  которой  требуется  только  шесть  ячеек   памяти.
Программа для решения данной задачи имеет вид:

{**********************************************************************}
Программа определение всех главных напряжении трехосной матрицы напряжений.
В программе использовано подпрограмма ЕIGЕМ из пакета программ  для  научных
исследований фирмы IВМ
{**********************************************************************}
 DIMENSION S<6),R(?) С
# Задание матрицы в компактной форме
 S(1) = 10 Е06
 S(2) =  5 Е06
 S(3) = 20 Е06
 S(4) =  6 Е06
 S(5) =  4 Е06
 S(6) = 30 Е06
# Определение всех собственных значений методом Якоби
 CALL EIGEN(S,R,3,0)

# Печать собственные значении
 WRITE(6,100)
 WRITE(6,101) S(1),S(3),3(6)
100 FORMAT(1Х,'ТНЕ EIGENVALUES ARE'')
101 FORMAT(1X,E15.8)
   STOP
   END


Результат работы программы получаем в виде:

Собственные значения равны

      0.33709179E 08
      0.19149061E 08
      0.71417603E 07



Метод Гивенса для симметричных матриц



Метод Гивенса основан на преобразовании подобия, аналогичном применяемому в
методе Якоби. Однако в этом случае алгоритм  построен  таким  образом,  что
вновь образованные нулевые элементы при  всех  последующих  преобразованиях
сохраняются. Поэтому  метод  Гивенса  требует  выполнения  конечного  числа
преобразований и по сравнению с методом Якоби связан с  меньшими  затратами
машинного  времени.  Его  единственный  недостаток  состоит  в   том,   что
симметричная матрица приводится не к диагональному, а  к  трехдиагональному
виду. Ниже будет показано,  что  такая  форма  матрицы  может  быть  весьма
полезной и оправдывает усилия, затраченные на ее получение.

В случае матрицы размерности п х п метод Гивенса требует  п  —  2  основных
шагов, на каждом из которых выполняется ряд преобразований,  число  которых
зависит от числа нулей, которое хотят получить в данном столбце или строке.
На k -м шаге обращают в нули элементы,  стоящие  вне  трех  диагоналей  k-й
строки и k -го столбца, сохраняя в то же время нулевые элементы, полученные
на  предыдущих  шагах.  Таким   образом,   перед   началом   k   -го   шага
преобразованная  матрица  является  трехдиагональной,   если   ограничиться
рассмотрением ее первых k — 1 строк  и  столбцов.  По  мере  преобразований
симметричная матрица размерности 5х5 приобретает следующие формы:


|     |* |* |* |* |* |                |
|     |* |* |* |* |* |                |
|A0=  |* |* |* |* |* |исходная        |
|     |  |  |  |  |  |матрица,        |
|     |* |* |* |* |* |                |
|     |* |* |* |* |* |                |


|     |* |* |0 |0 |0 |                                   |
|     |* |* |* |* |* |                                   |
|A1=  |0 |* |* |* |* |после первого основного шага,      |
|     |0 |* |* |* |* |состоящего из трех преобразований, |
|     |0 |* |* |* |* |                                   |


|     |* |* |0 |0 |0 |                                   |
|     |* |* |* |0 |0 |                                   |
|A2=  |0 |* |* |* |* |после второго основного шага,      |
|     |0 |0 |* |* |* |состоящего из двух преобразований, |
|     |0 |0 |* |* |* |                                   |


|     |* |* |0 |0 |0 |                                      |
|     |* |* |* |0 |0 |после третьего основного шага,        |
|A3=  |0 |* |* |* |0 |состоящего из одного преобразования.  |
|     |0 |0 |* |* |* |Теперь матрица имеет трехдиагональный |
|     |  |  |  |  |  |вид.                                  |
|     |0 |0 |0 |* |* |                                      |


На каждом основном шаге изменяются лишь те элементы  матрицы  аij,  которые
расположены в ее правой нижней (заштрихованной) части. Таким образом на k-м
шаге преобразуется только матрица порядка (п — k +  1),  занимающая  правый
нижний  угол  исходной  матрицы.  Ясно,  что  на  каждой  следующей  стадии
выполняется меньшее число преобразований,  чем  на  предыдущей.  Всего  для
приведения матрицы к трехдиагональному виду требуется выполнить (n2 — Зп  +
2)/2 преобразований.

Наш опыт применения метода Гивенса показывает,  что  можно  при  выполнении
одного шага преобразований обратить в нуль сразу все элементы целой  строки
и  столбца,  стоящие  вне  трех  диагоналей  матрицы.  Метод,   позволяющий
выполнить такое преобразование, предложил Хаусхолдер .


Метод Хаусхолдера для симметричных матриц

Метод Хаусхолдера позволяет  привести  матрицу  к  трехдиагональному  виду,
выполнив почти вдвое меньше вычислений по сравнению с другими методами. Это
обусловлено тем, что при  его  применении  становятся  нулевыми  сразу  все
элементы строк и столбцов,  стоящие  вне  трех  диагоналей  матрицы.  Метод
Хаусхолдера позволяет  получить  требуемый  результат  быстрее,  чем  метод
Гивенса, так как связан с выполнением меньшего числа, хотя и более  сложных
преобразований. Это его свойство особенно ярко проявляется применительно  к
большим  матрицам.  Хотя  в  методе  Хаусхолдера  вместо  плоских  вращении
используются эрмитовы ортогональные преобразования матриц, трехдиагональная
форма матрицы, которую получают  этим  методом,  имеет  те  же  собственные
значения, что и трехдиагональная матрица, получаемая методом  Гивенса.  При
использовании метода Хаусхолдера  на  п  —  2  основных  шагах  выполняются
следующие преобразования:
                      Аk = РkAk-1Рk, k=1, 2, ..., п-2,
                                где Aо == А.

Каждая преобразующая матрица имеет вид
                                         uk ukT
                            Pk = E - -------------- ,
                                         2Kk2
где
                 ui,k = 0    при i = 1, 2, …, k,
                 ui,k = ak,i при i = k+2, …, n,
                 uk+1,k = ak,k+1  ( Sk.

Здесь
                          n          1/2
                 Sk =      (  a2k,i
                       i=k+1

                 2K2k = S2k  ( ak, k+1 Sk.

В этих  уравнениях  берется  знак,  соответствующий  элементу  ak,k+1.  Это
позволяет сделать  значение  иk+1,k  максимальным.  Отметим,  что  методами
Гивенса и Хаусхолдера можно пользоваться и в случае несимметричных  матриц,
приводя их,  правда,  не  к  трехдиагональному,  а  другому  частному  виду
треугольной матрицы известной как матрица Гессенберга:

|* |* |0 |0 |0 |0 |
|* |* |* |0 |0 |0 |
|* |* |* |* |0 |0 |
|* |* |* |* |* |0 |
|* |* |* |* |* |* |
|* |* |* |* |* |* |



5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ СИММЕТРИЧНОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ

Приведя симметричную матрицу к трехдиагональному виду методом  Гивенса  или
Хаусхолдера, необходимо найти ее собственные  значения.  Чтобы  ясней  были
достоинства  трехдиагональной  формы,  сформулируем  задачу  о  собственных
значениях в виде
                               dеt(А—(E) = 0,
где А — симметричная трехдиагональная матрица. Раcкрыв выражение в скобках,
получим


|a1 - (   |b2       |         |0        |         |
|b1       |a2 - (   |         |         |      = 0|
|         |         |         |bn       |         |
|0        |         |bn       |an - (   |         |

Произвольный определитель порядка п можно выразить через п миноров  порядка
п — 1, каждый из которых в свою очередь выражается  через  п  —  1  миноров
порядка п — 2. Удобство трехдиагональной формы в том, что  на  каждом  шаге
все миноры, кроме двух, оказываются равными  нулю.  В  результате  исходный
определитель представляется последовательностью полиномов
                 fm(() = (am -  () fm-1 (() – b2 m fm-2(().
Приняв
              f0 (() = 1 и f1 (() = a1 - (  при r = 2, .... п,

получим совокупность полиномов, известную как последовательность  Штурма  и
обладающую тем свойством, что корни полинома  fj  (()  располагаются  между
корнями полинома fj+1 ((). Поэтому для f1 (() = a1— ( можно утверждать, что
значение (К = а1 заключено между корнями полинома f2 (() == (a2 — () (a1  —
() —b22. Это облегчает итерационное определение корней  полинома,  так  как
если известны границы интервалов, в которых лежат значения корней полинома,
то их можно найти методом половинного деления. Так последовательно  находят
корни всех полиномов, и  последний  из  них  fn  (()  дает  все  искомые  п
собственные значения. Эту процедуру можно проиллюстрировать графически (см.
рис. 3).

Последовательность Штурма  обладает  еще  и  таким  свойством:  для  любого
значения b, при котором fn (b) <> 0, число собственных значений матрицы  A,
больших b, равно числу изменений знака последовательности
                     1, f1 (b), f2 (b), … , (1)n fn (b).

Если целое число, равное числу изменений знака, обозначить через  V(b),  то
число собственных значений в интервале действительных чисел  [b,  с]  будет
равно V(b)—V(c).



………………………………………………………………………………………………………..



              Рис. 3. Итерационное определение корней полин
1234
скачать работу

Алгебраическая проблема собственных значений

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ