Алгебраическая проблема собственных значений
ома
6. ДРУГИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В этом разделе мы рассмотрим два метода определения собственных значений,
имеющие большое практическое значение. Оба разработаны в последние 20 лет и
наиболее эффективны в тех случаях, когда требуется найти все собственные
значения произвольной матрицы действительных или комплексных чисел. В обоих
используются преобразования, позволяющие получить последовательность
подобных матриц, сходящуюся к матрице блочной треугольной формы:
|X1|* | |… |… |* |* |* |
| |x2|* |… |… |* |* |* |
| | |x3|… |… |* |* |* |
| | | |… |… |* |* |* |
| | | | |… |* |* |* |
| | | | | |… |* |* |
| |0 | | | | |… |* |
| | | | | | | |* |
где блоки Хm, представляют собой матрицы размерности 2 х 2, расположенные
на главной диагонали. Собственные значения блоков Хm, являются в то же
время собственными значениями исходной матрицы размерности п x п. Такая
форма удобна, так как детерминант второго порядка блоков Хm позволяет
определять комплексные собственные значения, не вводя комплексных элементов
в окончательную матрицу. Если все собственные значения исходной матрицы
действительные, то в окончательном виде она будет треугольной, причем
собственные значения будут расположены на диагонали.
Метод LR
Этот метод первоначально был разработан Рутисхаузером в 1958 г. Метод
основан на представлении матрицы A в виде произведения
А = LR,
где L — левая треугольная матрица с единичными диагональными элементами, а
R — правая треугольная. Применяя преобразование подобия L-1 A R, видим,
что,
A2 = L-1 A R = L-1 (RL)L = R L.
Следовательно,
Am-1 = L m-1 Rm-1,
Am = R m-1 Lm-1.
Этот процесс повторяется до тех пор, пока Ls не превратится в единичную
матрицу Е, а Rs не приобретет квазидиагональную форму. Хотя этот метод
очень удобен, он не всегда устойчив. Поэтому предпочтение часто отдают
другому методу.
Метод QR
Метод QR. предложен Фрэнсисом в 1961 г. Соответствующий ему алгоритм
определяется соотношением
Am = Q m Rm.
где Q m — ортогональная матрица, а Rm — верхняя треугольная матрица. При
использовании метода последовательно получаем
Am+1 = Q mT Am Q m = Q mT Q m Rm Q m = Rm Q m.
В пределе последовательность матриц А стремится к квазидиагональной форме.
Этот метод сложнее предыдущего и требует больших затрат машинного времени.
Однако его устойчивость,обусловленная использованием ортогональных
преобразующих матриц, обеспечила ему прочную репутацию лучшего метода
решения задач самой общей формы.
| |  скачать работу |
Алгебраическая проблема собственных значений |
