Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Алгебраические числа

(x)=0, тогда z – корень тождественно не равного нулю многочлена ((x) с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n, т.е. меньшей чем у f(x). А это противоречит тому, что f(x) – минимальный многочлен для z. Предположение, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, оказалось неверным, т.е. f(x) неприводим над этим полем. Теорема доказана. Теорема 3: Если z корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена F(x) с рациональными коэффициентами степени n, то z – алгебраическое число степени n. Доказательство: Обозначим минимальный многочлен для z через f(x). Согласно теоремы 1: F(x)=f(x)g(x); где g(x) – многочлен с рациональными коэффициентами. Поскольку F(x) неприводим над полем рациональных чисел и f(x) отлично от постоянного, то g(x)=c, где c – рационально. F(x)=cf(x), т.е. z – алгебраическое число n-й степени. Теорема доказана. Пример: Пусть p – простое число. [pic] при любом простом целом a (a>1), не равном p-ой степени другого целого, представляет собой алгебраическое число степени p. Действительно это число есть корень неприводимого над полем рациональных чисел многочлена. xp-a=0 Если z – алгебраическое число степени n и f(x) – минимальный многочлен для z, то все корни z1, z2, … zn уравнения f(x)=0, отличные от z, называют сопряженным с z. Один из корней совпадает с z, будем ставить его на первое место, т.е. z=z1. 2.3. Поле алгебраических чисел Теорема 4: Множество всех действительных алгебраических чисел представляет собой поле, т.е. сумма, разность, произведение и частное двух алгебраических чисел ( и ( (для частного при ((0) являются алгебраическими числами. Доказательство: 1) Пусть ( - корень многочлена f(x) степени n с целыми коэффициентами, корни которого (1, (2, … ,(n, ( и ( - корень многочлена ((x) степени m с целыми коэффициентами, корни которого (1, (2, … (m ((=(1). Рассмотрим многочлен: F(x)=[pic](x-((i+(i))= = (x-(1-(1) (x-(1-(2) … (x-(1-(m) (x-(2-(1) (x-(2-(2) … (x-(2-(m) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (x-(n-(1) (x-(n-(2) … (x-(n-(m) (2) Если в этом произведении сделать какую угодно подстановку величин (1, (2, … ,(n, то некоторые строки переставляется местами, но произведение в целом не изменится. Это значит, что F(x) – симметрический многочлен по отношению (1, (2, … (m. В целом F(x) – симметрический многочлен от двух систем аргументов: (1, (2, … ,(n и (1, (2, … (m. Согласно известным теоремам о симметрических многочленах, коэффициенты многочлена F(x) могут быть выражены рационально через элементарные симметрические функции от (1, (2, … ,(n и (1, (2, … (m, т.е. через целые коэффициенты, f(x) и ((x). Это значит, что коэффициенты F(x) рациональны, и, следовательно, число (+(=(1+(1, являющегося, как это непосредственно видно из формулы (2), корнем F(x), есть алгебраическое число. 2) Для доказательства того, что произведение двух алгебраических чисел ( и ( есть алгебраическое число, достаточно, аналогично тому, как это было только что сделано для многочлена (2), рассмотреть многочлен: F(x)=[pic](x-(i(i) (3) Этот многочлен имеет в качестве одного из своих корней (1(1=((. 3) Пусть ( - корень многочлена ((x)=b0xn+ b1xn-1+ … bn, (bi – целые числа). Тогда -( является корнем многочлена с целыми коэффициентами. ((-x)=(-1)nb0xn+(-1)n-1b1xn-1+ … bn, а при ((0 корень многочлена xn(([pic])=b0+b1x+ … bnxn. Таким образом, вместе с ( алгебраическими числами являются -( и [pic]. Разность может быть представлена в виде (+(-(), т.е. в виде суммы двух алгебраических чисел. При ((0 частное [pic], являясь произведением двух алгебраических чисел, представляет собой так же алгебраическое число. Если степени алгебраических чисел ( и ( равны m и n, то, взяв в качестве f(x) и ((x) соответствующие минимальные многочлены будем в (2) и (3) иметь многочлены степени mn, и (( алгебраические числа степени, не большей, чем mn. Многочлены ((x), ((-x), и xn[pic] одинаковой степени, а, следовательно, (, -(, [pic]- алгебраические числа одной и той же степени, откуда следует, что и (-( и [pic] имеют степени не больше, чем mn. Теорема доказана. Пример: 1) [pic] и [pic] алгебраические числа 2-й степени, а [pic] - алгебраическое число 4 степени. Действительно, если (=[pic], то (2=5+[pic], 24-10(2+1=0, т.е. ( корень многочлена f(x)=x4-10x2+1 с целыми коэффициентами, и f(x)=(x-[pic])(x-[pic])(x+[pic])(x+[pic]) (4) Из теоремы единственности над полем рациональных чисел множители f(x) должны являться произведением каких-то множителей правой части равенства (4). Легко видеть, что из этих множителей нельзя составить многочлен с рациональными коэффициентами степени меньшей, чем 4, т.е. f(x) – неприводимый над полем рациональных чисел многочлен, а, следовательно, согласно теореме 3, [pic] - алгебраическое число 4-й степени. 2) (=[pic] и (=[pic], как легко видеть, это алгебраические числа 6-й степени, а произведение ((=[pic] - алгебраическое число 3-й степени. III. Рациональные приближения алгебраических чисел. 3.1. Теорема Лиувилля. Алгебраические числа не могут иметь слишком хороших рациональных приближений: погрешность при замене алгебраического числа рациональной дробью не может быть достаточно мала по порядку в сравнении с величиной, обратной знаменателю рациональной дроби. Для алгебраического числа 1-й степени существует постоянная c>0, такая, что для любой рациональной дроби [pic], отличной от (, будет выполняться неравенство: [pic] (5) Для алгебраического числа 2-й степени можно подобрать c>0, такое, что для любой рациональной дроби, будет иметь место неравенство: [pic] (6) В 1844 г., французским математиком Лиувиллем, впервые была доказана общая теорема: Теорема 5: Для любого действительного алгебраического числа ( степени n можно подобрать положительноеc, зависящее только от (, такое, что для всех рациональных чисел [pic] ([pic](() будет иметь место неравенство: [pic] (7) Доказательство: Пусть f(x)=A0xn+ A1xn-1+An неприводимый многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является (. В качестве f(x) можно, например, взять многочлен, получающийся из минимального для ( многочлена после умножения всех коэффициентов на наименьшее кратное их знаменателей. Согласно теореме Безу, имеем: f(x)=(x-()g(x), (8) где g(x) – многочлен с действительными коэффициентами. Возьмем произвольное (>0. |g(x)| - непрерывная, а следовательно, ограниченная функция от x в сегменте ((-(; (+((, т.е. существует положительное число M, такое, что |g(x)|(M, для всех x из этого сегмента. Обозначим через c=min [pic], так, что [pic] и [pic]. Для произвольного рационального числа [pic] могут представиться две возможности: 1) [pic] лежит вне сегмента |(-((; (+((|, тогда [pic] 2) [pic] удовлетворяет неравенствам: (-(([pic]((+(, тогда |g([pic])|(M и, подставляя в (8) вместо x значение [pic], получаем: [pic] (9) Неприводимый над полем рациональных чисел многочлен f(x) степени n(2 не имеет рациональных корней, а при n=1 не имеет корней, отличных от (, так что: f([pic])=[pic] Поскольку числитель [pic] - целое неотрицательное, отличное от нуля, т.е. число большее или равное 1, то [pic] (10). Сравнивая неравенства (9) и (10) получаем [pic], так что и в этом случае имеем: [pic]. Теорема доказана. Пример: Пусть z – неквадратное целое число. Найти c>0, такое, что для всех рациональных чисел [pic] имело бы место неравенство: [pic]. [pic] - корень многочлена x(-В. Деля x2-D на x-[pic], находим g(x)=x+[pic]. При [pic]-(<[pic]+( имеем [pic], т.е. M=[pic]+(. В качестве c берем [pic], при этом выгодней всего взять ( так, что [pic] (2+[pic](-1=0, т.е. (=[pic]. При таком ( получаем [pic], так что при любых целых a и b имеем: [pic]. 3.2. Трансцендентные числа Лиувилля. Числа, являющиеся корнями уравнений с целыми коэффициентами, не исчерпывают все множество действительных чисел, т.е. существуют действительные числа отличные от алгебраических. Определение 6: Любое неалгебраическое число называется трансцендентным. Впервые существование трансцендентных чисел доказано Лиувиллем. Доказательство существования трансцендентных чисел у Лаувилля эффективно; на основе следующей теоремы, являющейся непосредственным следствием теоремы 5, строятся конкретные примеры трансцендентных чисел. Теорема 6: Пусть ( – действительное число. Если для любого натурального n(1 и любого действительного c>0 существует хотя бы одна рациональная дробь [pic], такая, что [pic] (11), то ( – трансцендентное число. Доказательство: Если бы ( было алгебраическим, то нашлось бы (теорема 5) целое положительное n и действительное c>0 такие, что для любой дроби [pic] было бы [pic], а это противоречит тому, что имеет место (11). Предположение, что ( алгебраическое число, т.е. трансцендентное число. Теорема доказана. Числа (, для которых при любых n(1 и c>0 неравенство (11) имеет решение в целых числах a и b называются трансцендентными числами Лиувилля. Пример: 1) [pic] a – трансцендентное число. Возьмем произвольные действительные n(1 и c>0. Пусть [pic], где k выбрано настолько большим, что [pic] и k(n, тогда [pic] Поскольку для произвольных n(1 и c>0 можно найти дробь [pic] такую, что [pic], то ( – трансцендентное число. Заключение. Алгебраические числа имеют широкое применение в теории чисел, алгебре, геометрии и других разделов математики. Они позволяют раскрыть вариантности алгебры для практических приложений. Это имеет большое значение в подготовке учителя для средней школы. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. К этому разделу относятся вопросы, связанные с изучением различных классов алгебраических чисел. Эта работа может служить в качестве учебного пособия при изучении теории алгебраических чисел. А так же она удобна в использовании при подготовке к экзамену. В работе введена сплошная нумерация теорем и определений арабскими
123
скачать работу

Алгебраические числа

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ