Алгебраические числа
Другие рефераты
Введение. Первоначальные элементы математики связаны с появлением навыков счета, возникающих в примитивной форме на сравнительно ранних ступенях развития человеческого общества, в процессе трудовой деятельности. Исторически теория чисел возникла как непосредственное развитие арифметики. В настоящее время в теорию чисел включают значительно более широкий круг вопросов, выходящих за рамки изучения натуральных чисел. В теории чисел рассматриваются не только натуральные числа, но и множество всех целых чисел, а так же множество рациональных чисел. Если рассматривать корни многочленов: f(x)=xn+a1xn-1+…+an с целыми коэффициентами, то обычные целые числа соответствуют случаю, когда этот многочлен имеет степень n=1. Во множестве комплексных чисел естественно выделить так называемые целые алгебраические числа, представляющие собой корни многочленов с целыми коэффициентами. Изучение свойств таких чисел составляет содержание одного из важнейших разделов современной теории чисел, называемого алгебраической теорией чисел. Она связана с изучением различных классов алгебраических чисел. I. Краткий исторический очерк. Огромное значение в развитии теории чисел имели замечательные работы К. Гаусса (1777-1855). Гаусс наряду с изучением обычных чисел начал рассматривать так же и арифметику чисел, получивших название целых гауссовских чисел, а именно числа вида a+bi, где a и b – обычные целые числа. Эти его исследования положили начала алгебраической теории чисел. Теория алгебраических чисел была построена в работах Куммера (1810- 1893) и Дирихле (1805-1859) и развита затем Кронекером (1823-1891), Дедекиндом (1831-1916) и Е.И. Золотаревым (1847-1878). Работы Лиувилля (1809-1882) и Эрмита (1822-1901) явились основой трансцендентных чисел. Вопросы аппроксимации алгебраических чисел рациональными были существенно продвинуты в начале века А. Туэ, а затем в пятидесятых годах в работах К. Рота. В последнее время все большее внимание специалистов по теории чисел привлекает алгебраическая теория чисел. Здесь надо назвать работы Г. Хассе, Е. Гекке, а в особенности французского математика А. Вейля, результаты которого были использованы во многих теорико-числовых исследованиях, как например Д. Берджессом в проблеме о наименьшем квадратичном вычете. К алгебраической теории чисел относятся и интересные работы советского математика И.Р. Шафаревича, а так же работы Б.Н. Делонга по теории кубических форм. II. Поле алгебраических чисел. 2.1 Понятие числового поля Естественный и важный подход к выделению и изучению тех или иных множеств чисел связан с замкнутостью множеств чисел относительно тех или иных действий. Определение 1: Мы говорим, что некоторое множество чисел М замкнуто относительно некоторого действия, если для всяких двух чисел их М, для которых определен результат данного действия над ним, число, является этим результатом, всегда принадлежащим М. Пример: 1) N Множество натуральных чисел замкнуто относительно сложения, т.к. (a, b(N (( (a+b) (N. В отношении умножения множество N так же замкнуто. Но оно не является замкнутым относительно вычитания и деления. Действительно: 5, 7 (N, но 5-7=-2 (N, 3, 2(N, но 3:2=1,5 (N 2) Множество целых чисел Z замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения. 3) Множество чисел вида 2к, к(N, замкнуто относительно умножения и деления. 2к(2l=2k+l 2к:2l=2k-l В связи с замкнутостью действий на множестве выделились классы числовых множеств. Рассмотрим один их классов, называемых полем. Определение 2: Множество чисел М, содержащие не менее двух чисел, называется числовым полем, если оно замкнуто относительно действий сложения, вычитания, умножения и деления. Последнее означает, что для любых a, b (M, должно иметь место a+b, a- b, a*b (M. Так же для любого a(M и любого b(0 из М, должно выполняться a:b(M. Пример: Среди важнейших числовых полей наиболее важными являются: 1) поле всех рациональных чисел; 2) поле всех вещественных чисел; 3) поле всех комплексных чисел. Что касается множества всех целых чисел, то оно не является числовым полем, ибо не замкнуто относительно деления. Существует бесконечно много числовых полей. Нас, в данном случае интересует поле алгебраических чисел. 2.2 Определение алгебраического числа. Существуют различные признаки, по которым их общего множества Z выделяю те или иные подмножества, подвергаемые специальному изучению. С точки зрения важного для алгебры понятия алгебраического уравнения, естественным представляется выделение классов чисел, являющихся корнями алгебраических уравнений, коэффициенты которых принадлежат тому или иному классу чисел. Определение 3: Число Z называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами: anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 (a0, a1, … ,an(Z; an(0), т.е. выполняется: anzn+an-1zn-1+…+a1z+a0=0 Числа не являющиеся алгебраическими называются трансцендентными. В определении алгебраического числа можно допустить, чтобы коэффициенты a0, a1, … ,an-1, an были любыми рациональными числами, поскольку, умножив левую и правую части уравнения на целое число, являющиеся общим кратным знаменателем всех коэффициентов, мы получили уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого будет наше число. К алгебраическим числам принадлежат, в частности, и все рациональные числа. Действительно, рациональное число z=[pic] (p, q(N) очевидно является корнем уравнения: qx-p=0. Также всякое значение корня любой степени из рационального числа является алгебраическим числом. Действительно, число z=[pic] (p, q(N) является корнем уравнения: qxn-p=0. Существуют и другие алгебраические числа, нежели указанное выше. Пример: 1) Чиcло z=[pic] является алгебраическим. Действительно, возводя в квадрат обе части равенства, определяющего число z, получим: z2=2+2[pic]+3. Отсюда z2-5=[pic]. Возводя в квадрат обе части этого равенства, получим: z4-10z2+25=24. Отсюда следует, что число z является корнем следующего уравнения: x4-10x2+1=0 2) Всякое число z=a+bi, у которого компоненты a и b – рациональные числа, являются алгебраическими. Докажем это. [pic], [pic] (p, q, [pic](N). Из равенства [pic], получаем: [pic]. Отсюда, возводя в квадрат, получим: [pic]. Следовательно, я является корнем уравнения: [pic] все коэффициенты которого целые числа. В дальнейшем мы будем рассматривать только действительные алгебраические числа, не оговаривая этого каждый раз. Из f(x)=0 следует f(z)((x)=0, где в качестве ((x) можно взять любой многочлен с целыми коэффициентами. Таким образом для любого алгебраического числа z, из всех этих многочленов обычно рассматривают многочлен наименьшей степени. Определение 4: Число n называется степенью алгебраического числа z, если z есть корень некоторого многочлена n-ой степени с рациональными коэффициентами и не существует тождественно не равного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем n, корнем которого является z. Если корень многочлена n-ой степени с целыми рациональными коэффициентами z не является корнем ни одного тождественно неравного нулю многочлена с целыми коэффициентами степени меньшей чем n, то z не может быть корнем и тождественно неравного нулю многочлена с рациональными коэффициентами степени меньшей чем n, т.е. z – алгебраическое число степени n. Рациональные числа являются алгебраическими числами первой степени. Любая квадратическая иррациональность представляет собой алгебраическое число 2-й степени, так как, являясь корнем квадратичного уравнения с целыми коэффициентами, она не является корнем какого-либо уравнения 1-й степени с целыми коэффициентами. Алгебраические числа 3-й степени часто называют кубическими иррациональностями, а 4-й степени биквадратическими иррациональностями. Пример: 1) [pic] - алгебраическое число 3-й степени, т.е. кубическая иррациональность. Действительно, это число есть корень многочлена 3-й степени с целыми коэффициентами x3-2=0 и [pic] не является корнем какого-либо многочлена 1-й или 2-й степени с целыми коэффициентами. Определение 5: Если алгебраическое число n-й степени z является корнем многочлена f(x)=xn+b1xn-1+ … +bn (n(1) (1) с рациональными коэффициентами, то f(x) называется минимальным многочленом для z. Таким образом, минимальным многочленом для z называется многочлен наименьшей степени с рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом, равном единице, корнем которого является z. Если вместо многочлена (1) взять какой-либо другой многочлен с рациональными коэффициентами степени n, корнем которого является z, то многочлен (1) может быть получен из него делением всех коэффициентов на старший член. Пример: 1) Минимальным многочленом для [pic] является x3-2, так как корень этого многочлена [pic] не является корнем какого-либо многочлена степени с рациональными коэффициентами. Теорема 1: Если f(x) минимальный многочлен алгебраического числа z и f(x) многочлен с рациональными коэффициентами, такой, что F(z)=0, то f(x) делитель F(x), т.е. F(x)=f(x)g(x), где g(x) также многочлен с рациональными коэффициентами. Доказательство: Согласно известной теореме алгебры F(x) можно представить в виде: F(x)=f(x)g(x)+r(x) где g(x) и к(ч) – многочлены с рациональными коэффициентами, причем степень r(x) меньше степени f(x). Поскольку F(x)=0 и f(z)=0, то придавая x значение z, получаем r(z)=0; z – корень многочлена r(x) с рациональными коэффициентами степени, меньшей чем у минимального для z многочлена, т.е. меньшей чем степень z. Это может быть только если r(x) тождественно равен нулю, а значит F(x)=f(x)g(x). Теорема доказана. Теорема 2: Для любого алгебраического числа z минимальный многочлен неприводим над полем рациональных чисел. Доказательство: Пусть f(x) – минимальный многочлен для z. Предположим, что f(x) приводим над полем рациональных чисел, т.е., что f(x)=((x)((x), ((x)((x) – многочлены с рациональными коэффициентами, степени меньшей, чем n. Из равенства ((x)((x)=f(x)=0 следует, что из двух чисел ((x) и ((x), по крайней мере одно равно нулю. Пусть например (
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
