Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль
ительной число. Получим две смешанных системы:
(1) [pic] и (2) [pic]
Решим каждую систему:
(1) [pic] входит в промежуток [pic] и является корнем уравнения.
(2) [pic] x = -3 не входит в промежуток [pic] и не является корнем
уравнения.
Ответ: [pic]
2-й способ
Установим, при каких значениях x модуль в левой части уравнения
обращается в нуль: [pic]
Получим два промежутка, на каждом из которых решим данное уравнение
(см. рис. 12):
[pic]
Рис. 12
В результате будем иметь совокупность смешанных систем:
[pic]
Решая полученные системы, находим:
(1) [pic] [pic] входит в промежуток и [pic] является корнем
уравнения.
(2) [pic] не входит в промежуток и x=-3 не является корнем уравнения
Ответ: [pic]
4.1.Решение при помощи зависимостей между числами a и b, их
модулями и квадратами этих чисел.
Помимо приведенных мною выше способов существует определенная
равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между
квадратами и модулями данных чисел:
|a|=|b| ? a=b или a=-b
a2=b2 ? a=b или a=-b
(1)
Отсюда в свою очередь получим, что
|a|=|b| ? a2=b2
(2)
Пример 4. Решим уравнение |x + 1|=|2x – 5| двумя различными способами.
1.Учитывая соотношение (1), получим:
x + 1=2x – 5 или x + 1=-2x + 5
x – 2x=-5 – 1 x + 2x=5 – 1
-x=-6|(:1) 3x=4
x=6 x=11/3
Корень первого уравнения x=6, корень второго уравнения x=11/3
Таким образом корни исходного уравнения x1=6, x2=11/3
2. В силу соотношения (2), получим
(x + 1)2=(2x – 5)2, или x2 + 2x + 1=4x2 – 20x + 25
x2 – 4x2 +2x+1 + 20x – 25=0
-3x2 + 22x – 24=0|(:-1)
3x2 – 22x + 24=0
D/4=121-3 Ч 24=121 – 72=49>0 ?уравнение имеет 2 различных корня.
x1=(11 – 7 )/3=11/3
x2=(11 + 7 )/3=6
Как показывает решение, корнями данного уравнения также являются числа 11/3
и 6
Ответ: x1=6, x2=11/3
Пример 5. Решим уравнение (2x + 3)2=(x – 1)2.
Учитывая соотношение (2), получим, что |2x + 3|=|x – 1|, откуда по образцу
предыдущего примера(и по соотношению (1)):
2х + 3=х – 1 или 2х + 3=-
х + 1
2х – х=-1 – 3 2х+
х=1 – 3
х=-4
х=-0,(6)
Таким образом корнями уравнения являются х1=-4, и х2=-0,(6)
Ответ: х1=-4, х2=0,(6)
Пример 6. Решим уравнение |x – 6|=|x2 – 5x + 9|
Пользуясь соотношением (1), получим:
х – 6=х2 – 5х + 9 или х – 6 = -(х2 –
5х + 9)
-х2 + 5х + х – 6 – 9=0 |(-1) x – 6=-x2 + 5x
- 9
x2 - 6x + 15=0 x2 – 4x +
3=0
D=36 – 4 * 15=36 – 60= -24 <0? D=16 – 4 * 3=4 >0?2 р.к.
? корней нет.
x1=(4- 2 ) /2=1
x2=(4 + 2 ) /2=3
Проверка: |1 – 6|=|12 – 5 * 1 + 9| |3 – 6|=|32 – 5 * 3 + 9|
5 = 5(И) 3 =
|9 – 15 + 9|
3 = 3(И)
Ответ: x1=1; x2=3
4.2.Использование геометрической интерпритации модуля для решения
уравнений.
Геометрический смысл модуля разности величин-это расстояние между ними.
Например, геометрический смысл выражения |x – a | -длина отрезка
координатной оси, соединяющей точки с абсцисами а и х . Перевод алгеб-
раической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких
решений.
Пример7. Решим уравнение |x – 1| + |x – 2|=1 с использованием
геометрической интерпритации модуля.
Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпри-тации
модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от
некторой точки абсцисс х до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2.
Тогда очевидно, что все точки с абсциссами из отрезка [1; 2] обладают
требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка- нет. Отсюда
ответ: множеством решений уравнения является отрезок [1; 2].
Ответ: х ? [1; 2]
Пример8. Решим уравнение |x – 1| - |x – 2|=1 1 с использованием
геометрической интерпритации модуля.
Будем рассуждать аналогично предыдущему примеру, при этом получим, что
разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для
точек, расположенных на координатной оси правее числа 2. Следовательно
решением данного уравнения будет являтся не отрезок, заключенный между
точками 1 и 2, а луч, выходящий из точки 2, и направленный в положительном
направлении оси ОХ.
Ответ: х ?[2; +?)
Обобщением вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные
переходы:
|x – a| + |x – b|=b – a, где b ? a ? a ? x ? b
|x – a| - |x – b|=b – a, где b ? a ? x ? b
4.3. Графики простейших функций, содержащих знак абсолютной величины
Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных
выражений. Сформулируем утверждение, позволяющее строить графики таких
функций, не раскрывая модули ( что особенно важно, когда модулей достаточно
много ): "Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет
собой кусочно- линейную функцию, график которой состоит из n +1
прямолинейного отрезка. Тогда график может быть построен по n +2 точкам, n
из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна --
произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя
-- с абсциссой, большей большего из корней.
Например:
1)f(x)=|x - 1| Вычисляя функции в точках 1, 0 и 2, получаем график,
состоящий из двух отрезков(рис.1)
2) f(x)=|x - 1| + |x – 2| Вычисляя значение функиции в точках с абсциссами
1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из двух отрезков прямых.(рис.2)
3) f(x)=|x - 1| + |x – 2| + |x – 3| Для построения графика вычислим
значения функции в точках 1, 2, 3, 0 и 4 (рис.3)
4) f(x)=|x - 1| - |x – 2| График разности строится аналогично графику
суммы, тоесть по точкам 1, 2, 0 и 3.
[pic]
рис1. рис2. рис3.
рис4.
4.4.Решение нестандартных уравнений, содержащих модули.
Пример9. Решить уравнение 3| x + 2 | + x2 + 6x + 2 = 0.
Решение.
Рассмотрим два случая.
[pic]
Ответ: (– 4; – 1).
Пример10. Решить уравнение | 4 – x | + | (x – 1)(x – 3) | = 1.
Решение.
Учитывая, что | 4 – x | = | x – 4 |, рассмотрим четыре случая.
[pic]так как [pic]
2)
[pic]
3)
4) [pic]
4) [pic]
Ответ: 3.
Графический способ.
Построим графики функций y = |(x–1)(x–3)| и y=1–|x–4 |
1)в Гy = |(x–1)(x–3)| подставим значение х=1 и х=3. Мы получим у=0,
тоесть пересечение графика с осью ОХ. При х равном нулю у=3, тоесть график
пересекается с осью ОУ в точке (0 ;3). И при х=4 у также равен 3- мы
получили первый график.
2) y=1–|x–4 | Найдем пересечение с осью ОХ, для этого решим простое
уравнение: 1-|x-4|=0
|x-4|=1
x - 4=1 или x - 4=-1
x=5 x=3
Следовательно данный график пересекает ось ОХ в точках 5 и 3.
При х=4 у=1 и ак видно из графика: графики обеих функций пересекаются в
одной точке 3
[pic]
Ответ: 3
Пример11. Решить уравнение | x2 + 3x | = 2(x + 1).
Решение.
Уравнение равносильно системе
[pic]
Ответ: [pic]
Пример12.Решить уравнение х2 - 4х +|x - 3| +3=0
Для освобождения от знака абсолютной величины разобьем числовую прямую на
две области и будем искать решения исходного уравнения в каждой из этих
областей отдельно:
__________x ?3__________________|____________x<3_________________
|x – 3|=x – 3 |x – 3|=-x +
3
x2 - 4x + x – 3 + 3=0 x2 – 4x – x + 3 +
3=0
x2 – 3x=0 x2 – 5x + 6=0
x(x – 3)
x1=0 или x2=3 D=25 – 4 * 6=1>
0?два различ. корня
x=0 –посторонний корень, так как x1= (5- 1 )/2 =2
не удовлетворяет промежутку. x2=(5 + 1)/2=3
x=3 -
посторонний корень, так как
не
удовлетворяет промежутку.
Значит, исходное уравнение имеет два решения х1=2 и х2=3
Ответ: х1=2, х2=3
Пример13. Решить уравнение | 2x + 8 | – | x – 5 | = 12.
Решение.
Раскрытие пары модулей приводит к трем случаям (без x + 4 ? 0, x – 5 ? 0
| |  скачать работу |
Алгебраическое и графическое решение уравнений, содержащих модуль |
