Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

  B  на  вектор-столбец  x  является  вектором-
столбцом, который обозначим через y:

                              Bx=y.        (10)

    Тогда уравнение (9) перепишем  в виде:

                               Cy=b.     (11)

    Здесь элементы сij известны, так как матрица А  системы  (7)  считается
уже разложенной на произведение двух треугольных матриц С и В.
    Перемножив матрицы в  левой  части  равенства  (11),  получаем  систему
уравнений  из   которой   получаем   следующие   формулы   для   определения
неизвестных:

                                    [pic]

    неизвестные yi удобно вычислять вместе с элементами bij.
    После того как все yi определены по формулам  (12),  подставляем  их  в
уравнение (10).
    Так как коэффициенты  bij  определены  (8),  то  значения  неизвестных,
начиная с последнего, вычисляем по следующим формулам:

                                    [pic]

    К прямым методам, использующим свойство разреженности А, можно отнести:
алгоритм минимальной степени, алгоритм  минимального  дефицита,  древовидное
блочное  разбиение  для  асимметричного  разложения,  методы  вложенных  или
параллельных сечений и др.

                                Метод Гаусса.
    Пусть дана система


                                   Ax = b

    где А – матрица размерности m x m.
    В предположении, что [pic], первое уравнение системы

                                [pic], [pic]

    делим на коэффициент [pic], в результате получаем уравнение

                                    [pic]
    Затем из каждого из остальных уравнений  вычитается  первое  уравнение,
умноженное на соответствующий коэффициент [pic]. В результате эти  уравнения
преобразуются к виду
                                    [pic]
    первое неизвестное  оказалось  исключенным  из  всех  уравнений,  кроме
первого. Далее  в  предположении,  что  [pic],  делим  второе  уравнение  на
коэффициент [pic] и исключаем неизвестное  из  всех  уравнений,  начиная  со
второго  и  т.д.  В  результате  последовательного  исключения   неизвестных
система уравнений преобразуется в систему уравнений с треугольной матрицей

                                    [pic]

    Совокупность проведенных  вычислений  называется  прямым  ходом  метода
Гаусса.
    Из [pic]-го уравнения системы  (2)   определяем  [pic],  из  ([pic])-го
уравнения определяем [pic] и т.д. до [pic].  Совокупность  таких  вычислений
называют обратным ходом метода Гаусса.
    Реализация прямого метода Гаусса требует [pic] арифметических операций,
а обратного - [pic] арифметических операций.

                   1.2    Итерационные методы решения СЛАУ

            Метод итераций (метод последовательных приближений).

    Приближенные  методы  решения  систем  линейных   уравнений   позволяют
получать значения  корней  системы  с  заданной  точностью  в  виде  предела
последовательности   некоторых   векторов.    Процесс    построения    такой
последовательности называется итерационным (повторяющимся).
    Эффективность  применения  приближенных  методов  зависят   от   выбора
начального вектора и быстроты сходимости процесса.
    Рассмотрим метод итераций (метод  последовательных приближений).  Пусть
дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

                                 Ах=b,  (14)

    Предполагая, что диагональные элементы aii [pic] 0 (i  =  2,  ...,  n),
выразим xi через первое уравнение систем x2 - через второе  уравнение  и  т.
д. В результате получим систему, эквивалентную системе (14):

                                    [pic]

    Обозначим [pic]; [pic], где i == 1, 2, ...,n; j == 1,2,..., n. Тогда
система (15) запишется таким образом в матричной форме

                                    [pic]

    Решим систему (16) методом  последовательных  приближений.  За  нулевое
приближение примем  столбец  свободных  членов.  Любое  (k+1)-е  приближение
вычисляют по формуле

                                    [pic]

    Если последовательность приближений x(0),...,x(k) имеет  предел  [pic],
то этот предел является решением системы (15),  поскольку  в  силу  свойства
предела [pic], т.е. [pic] [4,6].

                               Метод Зейделя.

    Метод Зейделя представляет собой  модификацию  метода  последовательных
приближений.  В  методе  Зейделя   при   вычислении   (k+1)-го   приближения
неизвестного xi (i>1) учитываются уже найденные  ранее  (k+1)-е  приближения
неизвестных xi-1.
    Пусть дана линейная система, приведенная к нормальному виду:

                                 [pic]  (17)

    Выбираем произвольно начальные приближения неизвестных и подставляем  в
первое уравнение системы (17). Полученное первое приближение подставляем  во
второе уравнение системы и так далее  до  последнего  уравнения.  Аналогично
строим вторые, третьи и т.д. итерации.
    Таким образом, предполагая, что k-е приближения [pic]известны,  методом
Зейделя строим (k+1)-е приближение по следующим формулам:

                                    [pic]
                                    [pic]

    где k=0,1,...,n

                                    [pic]


                               Метод Ланцоша.

    Для решения СЛАУ высокого порядка (1), матрица,  коэффициентов  которой
хранится в компактном  нижеописанном  виде,  наиболее  удобным  итерационным
методом является метод Ланцоша [4], схема которого имеет вид:

                                 [pic]  (18)

                                    [pic]

    где

                                    [pic]

    Преимуществом данного метода является его высокая скорость сходимости к
точному  решению.  Кроме  того,  доказано,   что   он   обладает   свойством
«квадратичного окончания», т.е. для положительно определенной матрицы  можно
гарантировано получить точное решение при количестве итераций [pic].  Размер
требуемой  памяти  на  каждой  итерации  не  изменяется,  т.к.  не   требует
преобразование  матрицы  [pic].  В  качестве  критерия   остановки   данного
итерационного процесса обычно используют соотношение

                                 [pic], (19)

    где [pic]- заданная точность. В качестве  другого  критерия  сходимости
иногда удобнее использовать  среднеквадратичную  разность  между  решениями,
полученными на соседних итерациях:

                                 [pic]  (20)

    Среднеквадратичную разность необходимо  контролировать  при  выполнении
каждых k наперед заданных итераций.
    Отдельно следует рассмотреть  проблему  выбора  начального  приближения
[pic].  Доказывается,  что  при  положительно  определенной  матрице  [pic],
итерационный процесс  (18)  всегда  сходится  при  любом  выборе  начального
приближения. При решении контактных задач,  когда  для  уточнения  граничных
условий  в  зоне  предполагаемого  контакта  требуется  большое   количество
решений СЛАУ  вида  (1),  в  качестве  начального  приближения  для  первого
расчета используется правая часть системы (1), а  для  каждого  последующего
пересчета  -  решение,  полученное  на  предыдущем.  Такая  схема  позволяет
значительно  сократить  количество  итераций,  необходимых  для   достижения
заданной точности (19) или (20) [10,11].

               2 МЕТОДЫ КОМПАКТНОГО ХРАНЕНИЯ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ


    Матрица  жесткости,   получающаяся   при   применении   МКЭ,   обладает
симметричной  структурой,  что  позволяет  в  общем  случае  хранить  только
верхнюю треугольную часть матрицы. Однако для задач  с  большим  количеством
неизвестных это так же приводит к проблеме нехватки памяти.  Предлагаемый  в
данной работе  метод,  позволяет  хранить  только  ненулевые  члены  матрицы
жесткости. Суть его заключается в следующем.
    Первоначально,  с  целью  выявления  связей  каждого  узла  с  другими,
производится анализ структуры дискретизации области на КЭ. Например, для  КЭ
- сетки, изображенной на рис.  1,  соответствующая  структура  связей  будет
иметь вид:
|№ узла |1      |2      |3      |4      |5      |6      |7      |
|Связи  |1, 2,  |1, 2,  |2, 3,  |3, 4,  |1, 4,  |1, 2,  |1, 4,  |
|       |5, 6, 7|3, 6   |4, 6   |5, 6, 7|5, 7   |3, 4,  |5, 6, 7|
|       |       |       |       |       |       |6, 7   |       |



      Тогда, для хранения матрицы жесткости необходимо построчно  запоминать
информацию  о  коэффициентах,  соответствующих   узлам,  с  которыми  связан
данный узел.  На рис.  2  приведены    матрица  жесткости  и  ее  компактное
представление для сетки изображенной на рис 1 [9].

    Текст подпрограммы, реализующий предложенный алгоритм анализа структуры
КЭ-разбиения тела, приведен в Приложении 1.

    Данный способ компактного хранения матрицы  жесткости  позволяет  легко
его  использовать  совместно  с  каким-нибудь  численным  методом.  Наиболее
удобным  для  этой   цели   представляется   использование   вышеизложенного
итерационного метода Ланцоша, так как на каждой  итерации  требуется  только
перемножать матрицу коэффициентов СЛАУ  и  заданный  вектор.  Следовательно,
для использования предложенного метода компактного хранения СЛАУ  необходимо
построить прямое  и  обратное  преобразование  в  первоначальную  квадратную
матрицу.
    Пусть [pic]– элемент  первоначальной  квадратной  матрицы  размерностью
[pic],  а  [pic]  -  ее  компактное  представление.  Тогда   для   обратного
преобразования будут справедливы следующие соотношения:

                            [pic],                                  (*)

где m – количество степеней свободы (m=1,2,3).
    Для прямого преобразования будут справедливы  соотношения,  обратные  к
соотношениям (*).
                           3 ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ


    Для  проверки  предлагаемого  метода   компактного   хранения   матрицы
жесткости  была  решена  задача  о  контактном  взаимодействии   оболочечной
конструкции и ложемента [12] (рис. 4).
123
скачать работу

Алгоритм компактного хранения и решения СЛАУ высокого порядка

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ