Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Аппроксимация функций



 Другие рефераты
Астрофизика Большой Взрыв и эволюция Вселенной В поисках системы мира Влияние магнитного поля

Аппроксимация функций.

Из курса математики известны 3 способа задания функциональных зависимостей:
1) аналитический
2) графический
3) табличный
Табличный способ обычно возникает в результате эксперемента.
Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся
значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких
значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой
аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.
Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x)
можно рассмотреть другую функцию ?(ч) близкую в некотором смысле к f(x),
позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку
погрешность такой замены.


                       ?(х)- аппроксимирующая функция.

                 Интерполяция (частный случай аппроксимации)
Если для табличной функции  y=f(x),  имеющей  значение  x0  f(x0)  требуется
построить  аппроксимирующюю  функцию  ((x)  совпадающую  в  узлах  с  xi   c
заданной, то такой способ называется  интерполяцией
При интерполяции, заданная  функция  f(x)  очень  часто  аппроксимируется  с
помощью многочлена, имеющего общий вид
((x)=pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0
В данном многочлене необходимо найти коэффициенты an ,an-1, …a0  ,  так  как
задачей является интерполирование, то определение  коэффициентов  необходимо
выполнить из условия равенства:
Pn(xi)=yi  i=0,1,…n
  Для  определения  коэффициентов  применяют   интерполяционные   многочлены
специального вида, к ним относится и полином Лагранжа Ln(x).

[pic]                  i(j
В точках отличных от узлов интерполяции полином Лагранжа в общем  случае  не
совпадает с заданной функцией .


Задание

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа вычислить  значение функции  y
в точке xc,  узлы  интерполяции  расположены  равномерно   с  шагом   (х=4,1
начиная   с   точки   х0=1,3   даны   значения   функции    y={-6.56,-3.77,-
1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27}.



                           ГСА для данного метода



CLS

DIM                                                                     Y(9)

DATA                   -6.56,-3.77,-1.84,0.1,2.29,4.31,5.86,8.82,11.33,11.27

X0    =    1.3:     H     =     4.1:     N     =     10:     XC     =     10

FOR         I         =         0         TO         N          -          1

1         X(I)         =         X0         +         H         *          I

READ                                                                    Y(I)

PRINT                               Y(I);                               X(I)

NEXT                                                                       I

S1     =     0:     S2     =     0:     S3     =     0:     S4      =      0

FOR         I         =         0         TO         N          -          1

2         S1         =         S1         +         X(I)         ^         2

S2                =                S2                 +                 X(I)

S3          =          S3          +          X(I)          *           Y(I)

S4                =                S4                 +                 Y(I)

NEXT                                                                       I

D        =        S1        *        N        -        S2        ^         2

D1       =        S3        *        N        -        S4        *        S2

D0       =       S1        *        S4        -        S3        *        S2

A1      =      D1       /       D:       A0       =       D0       /       D

YC          =           A1           *           XC           +           A0

PRINT       "A0=";       A0,       "A1=";        A1,        "YC=";        YC

FOR        X        =        0         TO         50         STEP         10

Y           =           A1           *           X           +            A0

PRINT                                  X,                                  Y

NEXT                                                                       X

END


XC= 10
  Х               Y
 1.3          -6.56
 5.4          -3.77
 9.5          -1.84
 13.6          .1
 17.7          2.29
 21.8          4.31
 25.9          5.86
 30            8.82
 34.1          11.33
 38.2          11.27
S=-1.594203



АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЕЙ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.
В инженерной деятельности часто возникает необходимость описать в виде
функциональной зависимости связь между величинами, заданными таблично или в
виде набора точек с координатами (xi,yi), i=0,1,2,...n, где n - общее
количество точек. Как правило, эти табличные данные получены
экспериментально и имеют погрешности. При аппроксимации желательно получить
относительно простую функциональную зависимость (например, полином),
которая позволила бы "сгладить" экспериментальные погрешности, получить
промежуточные и экстраполяционные значения функций, изначально не
содержащиеся в исходной табличной информации.

Графическая интерпретация аппроксимации.
Эта функциональная (аналитическая) зависимость должна с достаточной
точностью соответствовать исходной табличной зависимости. Критерием
точности или достаточно "хорошего" приближения могут служить несколько
условий.
Обозначим через fi значение, вычисленное из функциональной зависимости для
x=xi и сопоставляемое с yi.
Одно из условий согласования можно записать как
S = [pic](fi-yi) > min ,
т.е. сумма отклонений табличных и функциональных значений для одинаковых
x=xi должна быть минимальной (метод средних). Отклонения могут иметь разные
знаки, поэтому достаточная точность в ряде случаев не достигается.
Использование критерия     S = [pic]|fi-yi| > min , также не приемлемо,
т.к. абсолютное значение не имеет производной в точке минимума.
Учитывая вышеизложенное, используют критерий наименьших квадратов, т.е.
определяют такую функциональную зависимость, при которой

S = (fi-yi)2 , (1)
обращается в минимум.
В качестве функциональной зависимости рассмотрим многочлен
f(x)=C0 + C1X + C2X2+...+CMXM. (2)
Формула (1) примет вид S = [pic]( C0 + C1Xi + C2Xi2+...+CMXiM - Yi ) 2
Условия минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S
по независимым переменным С0,С1,...СМ :
SC0 = 2 ( C0 + C1[pic]Xi + C2[pic]Xi2+...+CM[pic]XiM - Yi ) = 0 ,
SC1 = 2 ( C0 + C1[pic]Xi + C2[pic]Xi2+...+CM[pic]XiM - yi ) Xi = 0 ,
............................................................................
..................... (3)
SCM = 2 ( C0 + C1[pic]Xi + C2[pic]Xi2+...+CM[pic]XiM - Yi ) XiM = 0 ,
Тогда из (3) можно получить систему нормальных уравнений
C0 [pic] (N+1) + C1[pic] Xi + C2[pic]Xi2 +...+ CM [pic]XiM = [pic]Yi ,
C0[pic]Xi + C1[pic]Xi2 + C2[pic]Xi3 +...+ CM[pic]XiM+1 = [pic]Yi Xi ,
............................................................................
........................... (4)
C0[pic]XiM + C1[pic]XiM+1 + C2[pic]XiM+2 +...+ CM[pic]Xi2M =[pic] Yi XiM .
Для определения коэффициентов Сi и, следовательно, искомой зависимости (2)
необходимо вычислить суммы и решить систему уравнений (4). Матрица системы
(4) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно
определенной. Эти полезные свойства используются при ее решении.
| |(N+1)     |[pic]Xi   |[pic]Xi2  |.|[pic]XiM  |[pic]Yi   | |
| |          |          |          |.|          |          | |
| |          |          |          |.|          |          | |
| |Xi        |[pic]Xi2  |[pic]Xi3  |.|[pic]XiM+1|[pic]Yi Xi| |
| |          |          |          |.|          |          | |
| |          |          |          |.|          |          | |
| |...       |...       |...       |.|...       |...       | |
| |          |          |          |.|          |          | |
| |          |          |          |.|          |          | |
| |XiM       |[pic]XiM+1|[pic]XiM+2|.|[pic]Xi2M |[pic]Yi   | |
| |          |          |          |.|          |XiM       | |
| |          |          |          |.|          |          | |


Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4а) достаточно
вычислить только элементы первой строки и двух последних столбцов,
остальные элементы не являются "оригинальными" и заполняются с помощью
циклического присвоения.
скачать работу


 Другие рефераты
Волновые уравнения
Теория социальной работы
Фирма шығынының құрылымы және пайда
Исследование RC-генератора синусоидальных колебаний


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


     ZERO.kz          
 
Модератор сайта RESURS.KZ