 |
|
Аркфункции
ная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев. Рассмотрим функцию [pic] Согласно определению арккосинуса, имеем: cos y = cos x, где [pic] Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если значение Х принадлежит сегменту [0; ?], то y = x. Если х принадлежит сегменту [?; 2?], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ?] и [pic], поэтому: [pic] Следовательно, на сегменте [?; 2?] имеем y = 2? - x Если х принадлежит сегменту [2?; 3?], то y = x - 2? Если х принадлежит сегменту [3?; 4?], то y = 4? – x Вообще, если [pic], то y = x - 2?k Если же [pic], то y = -x + ?k Графиком функции [pic]является ломаная линия Формулы сложения Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции. Сказанное пояснено ниже на числовых примерах. Примеры. Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму [pic] Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где [pic]; [pic] В данном случае [pic] (т.к. [pic], а следовательно, [pic]), а также [pic], поэтому [pic]. Вычислив синус дуги ?, получим: [pic] Т.к. сумма ? заключена на сегменте [-?/2; ?/2], то [pic] Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем: [pic] Откуда [pic] Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму [pic] Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ? оканчивается во второй четверти, т.к. [pic], а [pic]. Вычисляем [pic] В рассматриваемом примере [pic], так как дуги ? и [pic]заключены в различных интервалах, [pic], а [pic] В данном случае [pic] Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса. Решение: имеем [pic] Обе дуги ? и [pic]расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны: [pic] Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях. Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов. Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая четверть): [pic], и [pic] Сумма ? + ? заключена в верхней полуокружности [pic], следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса: [pic]; [pic] Разность ? – ? заключена в правой полуокружности: [pic] Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса: [pic]; [pic] Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса. Ниже приведены образцы соответствующих преобразований. 1. Преобразуем в арккосинус [pic], где [pic] и [pic] Имеем: [pic] Откуда [pic] 2. Аналогично [pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1 [pic], где 0 < x < 1, 0 < y < 1 [pic] [pic] [pic] Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов. 1. Выразить сумму [pic]через арксинус По определению арксинуса [pic] и [pic], откуда [pic] Для дуги ? возможны следующие три случая: Случай 1: [pic] Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1. В самом деле, при [pic]и [pic], имеем: [pic], и [pic], откуда [pic] При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем неравенств: а) [pic] б) [pic] Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства: [pic] в случае а) и [pic] в случае б) В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия [pic] и [pic](соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений. Вычислив [pic], получим: [pic] При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. [pic]или [pic] Откуда [pic] и, следовательно, [pic] Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств [pic]; но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому [pic] или [pic] Случай 2. [pic] В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия [pic]получим [pic] Случай 3. [pic] Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и [pic] Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю: [pic] откуда [pic] Дуги ? и [pic] имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) [pic], следовательно в случае 1 [pic]; в случае 2 [pic] и в случае 3 [pic]. Итак, имеем окончательно: [pic] , [pic] или [pic] [pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (1) [pic]; x < 0, y < 0, и [pic] Пример: [pic] [pic]; [pic] 2. Заменив в (1) x на –x получим: [pic] , [pic] или [pic] [pic] [pic]; x > 0, y > 0, и [pic] (2) [pic]; x < 0, y < 0, и [pic] 3. Выразить сумму [pic]через арккосинус [pic] и [pic] имеем [pic] Возможны следующие два случая. Случай 1: [pic]если [pic], то [pic] Приняв во внимание, что обе дуги [pic]и [pic]расположены в промежутке [0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим [pic] и следовательно, [pic], откуда [pic] Случай 2: [pic]. Если [pic], то [pic], откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим [pic]. Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если [pic], а случай 2, если [pic]. Из равенства [pic] следует, что дуги [pic] и [pic] имеют одинаковый косинус. В случае 1 [pic], в случае 2 [pic], следовательно, [pic] [pic], [pic] [pic], [pic] (3) 4. Аналогично [pic] [pic], [pic] [pic], [pic] (4)
| |  скачать работу |
Аркфункции |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
