Аркфункции
Другие рефераты
Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции. Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики. Решение: Рассмотрим 1-ю функцию y = arcsin(1/x) Д(f): | 1/x | ? 1 , | x | ? 1 , ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? ) Функция нечетная ( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0;?/2] ) Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [-?/2; ?/2], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x) Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? ) Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x2). Решение: Д(f): [-1;1] Четная f(x) убывает на пр. [0;1] f(x) возрастает на пр. [-1;0] Пример №3. Исследовать функцию y=arccos2(x). Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z2 f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0. f(y) убывает на пр. [-1;1] от ?2 до 0. Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x2-1)) Решение: Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? ) Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках: [ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? ) |X |0 |< x |1 |< x |+? | | | |< | |< | | |u=1/(x2-1|-1 |? |+ ? |? |0 | |) | | |- ? | | | |y=arctg(u|- |? |?/2 |? |0 | |) |?/4 | |- ?/2| | | Тригонометрические операции над аркфункциями Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой- либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение. В силу определения аркфункций: sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x (справедливо только для x є [-1;1] ) tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x (справедливо при любых x ) Графическое различие между функциями, заданными формулами: y=x и y=sin(arcsin(x)) Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями. |Аргумент |arcsin(x) |arccos(x) |arctg(x) |arcctg(x) | | | | | | | |функция | | | | | |sin |sin(arcsin(x))=|[pic] |[pic] |[pic] | | |x | | | | |cos |[pic] |x |[pic] |[pic] | |tg |[pic] |[pic] |x |1 / x | |ctg |[pic] |[pic] |1 / x |x | Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже: 1. Т.к. cos2x + sin2x = 1 и ? = arcsin(x) [pic] [pic] Перед радикалом [pic]следует взять знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит правой полуокружности (замкнутой) [pic], на которой косинус неотрицательный. Значит, имеем [pic] 2. Из тождества [pic]следует: [pic] 3. Имеем [pic] 4. [pic] Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул. Пример №1. Преобразовать выражение [pic] Решение: Применяем формулу [pic], имеем: [pic] Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств: [pic] [pic] Пример №3. Пользуясь ... [pic] Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества: [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] Пример №5. Положив в формулах [pic], и [pic] [pic], получим: [pic], [pic] Пример №6. Преобразуем [pic] Положив в формуле [pic], [pic] Получим: [pic] Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга [pic]принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная. Соотношения между аркфункциями Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг. Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества: [pic] [pic] Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов). Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности. Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (- ?/2; ?/2). Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга [pic]имеет синус, равный sin? и заключена, так же как и ?, в интервале (-?/2; ?/2), следовательно [pic] Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса: [pic] А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса: [pic] Так, например: [pic] [pic] Аналогично: [pic] Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней). 1. Выражение [pic][pic]через арктангенс. Пусть [pic], тогда [pic] Дуга [pic], по определению арктангенса, имеет тангенс, равный [pic] и расположена в интервале (-?/2; ?/2). Дуга [pic]имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-?/2; ?/2). Следовательно, [pic] (1) (в интервале ( -1 : 1 ) 2. Выражение [pic]через арксинус. Т.к. [pic], то [pic] (2) в интервале [pic] 3. Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства [pic]следует тождество [pic] (3) Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например, [pic] Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции. Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку. Так, например, дуга [pic] не может быть значением арксинуса. В этом случае [pic] Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях. 4. Выражение арксинуса через арккосинус. Пусть [pic], если [pic], то [pic]. Дуга имеет косинус, равный [pic], а поэтому [pic] При [pic]это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае [pic], а для функции [pic]имеем: [pic] так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень [pic], т.е. число неотрицательное. Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке: Х>0 X<0 При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и [pic] Таким образом, имеем окончательно: [pic]если [pic], (4) [pic], если [pic] График функции [pic] Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом: [pic], если [pic] [pic], если [pic] 5. Аналогично установим, что при [pic]имеем: [pic], если же [pic], то [pic] Таким образом: [pic] [pic], если [pic] (5) [pic], если [pic] 6. Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения [pic] при [pic]имеем: [pic] Если же х<0, то [pic] Итак, [pic] [pic], если [pic] (6) [pic], если [pic] 7. Выражение арккосинуса через арктангенс. Если [pic], то [pic] При [pic] имеем: [pic] Итак, [pic] [pic], если [pic] (7) [pic], если [pic] 8. Выражение арктангенса через арккотангенс. [pic] [pic], если х>0 (8) [pic],если x<0 При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то [pic]. 9. Выражение арксинуса через арккотангенс. [pic] [pic], если [pic] (9) [pic], если [pic] 10. Выражение арккотангенса через арксинус. [pic] [pic], если 0<0 11. Выражение арккотангенса через арктангенс. [pic] [pic], если x>0 (11) [pic], если x<0 Примеры: Пример №1. Исследовать функцию [pic] Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим: y= 0 , если x>0 -? , если x<0 На чертеже изображен график данной функции Пример №2. Исследовать функцию [pic] Решение: Первое слагаемое определено для значений [pic], второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4). Т.к. [pic], то получаем [pic], откуда: [pic] на сегменте [0;1] Пример №3. Исследовать функцию [pic] Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4). [pic] Приняв во внимание равенство [pic] [pic], если [pic] [pic], если [pic] получим: y = 0 , если [pic] [pic] , если [pic] Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями. При преобразовании выражений вида [pic] следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений: [pic] Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x; [pic] и [pic] Областью определения функции [pic] служит интервал [pic], так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента [pic]содержится на сегменте [pic]. При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х. Так, например, при х=?/6 имеем: [pic] но при х=5?/6 [pic] В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [-?/2; 3?/2] величиной 2?. Если значение х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла. Если значение х принадлежит сегменту [?/2; 3?/2], то в этом случае дуга ?-х принадлежит сегменту [-?/2; ?/2]; и, так как [pic], то имеем y=?-х; в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y=?-х. Если значение х принадлежит сегменту [3?/2; 5?/2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим: y=х-2? Если значение х принадлежит сегменту [-3?/2; -?/2], то y=-?-х Если значение х принадлежит сегменту [-5?/2; -3?/2], то y=х+2? Вообще, если [pic], то y=х-2?k и если [pic], то y=(?-х)+2?k График функции [pic]представлен на рисунке. Это лома
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
