Билеты по аналитической геометрии
гиперболу, если >1, параболу, если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной системы в фокус
кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой находится
фокус.
r= (
d=p+(cos(
e=(/p+(cos(
[pic] - полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем уравнение касательной к
нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу
значит справедливо:
[pic]
у-у0=y’(x0)(x-x0)
[pic]
Рассмотрим касательную к кривой [pic] следовательно [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
[pic]
[pic]
[pic] - уравнение касательной к эллипсу.
[pic] - уравнение касательной к гиперболе.
[pic] - уравнение касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение преобразований параллельного
переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее начало. Рассмотрим
все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя способами:
(е1;е1’)=cos u
(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1, (11е1+(12е2)= (11
(е1;е2’)= (е1, (21е1+(22е2)= (21
(е2;е1’)= (12
(е2;е2’)= (22
Приравниваем:
(11=cos u
(21= - sin u
(12=sin u
(22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение: Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат, называется функция зависящая от
коэффициентов ур-я (1) и не меняющая своего значения при преобразовании
системы координат.
Теорема: инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно
преобразования системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при преобразовании системы координат 3 величины остаются
неизменными, поэтому они характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’ т.о. что бы в системе
X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’ преобразованного уравнения кривой оказались
равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и a23’=0.
Получается система a11x0+a12y0+a13=0 и a12x0+a22y0+a23=0
Покажем, что новое начало координат (если система разрешима) является
центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)= f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2(0 т.е. центр симметрии имеют
линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на угол u. В новой системе координат уравнение
не содержит члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-
a22)sin2u+a12cos2u=0 (разделим на sin2u), получим:
[pic], после такого преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0 (3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0 и пусть I1>0
следовательно уравнение (1) определяет: 1. I3<0 – эллипс; 2. I3=0 – точка;
3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается
в точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после ПП и
поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0, I3<0, тогда
а11’’x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2
[pic]
I2=a11’’a22’’ > 0
I1= a11’’+a22’’ > 0
a11’’ > 0; a22’’ > 0
[pic]
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно, уравнение
эллипса.
2. I3>0 в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно
уравнение не определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т(0,0) – случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема: Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е.
I2<0, I3(0 - ур-е (1) определяет гиперболу; I3=0 – пару пересекающихся
прямых.
Доказательство: I2<0; I2= a11’’a22’’ < 0. Пусть a11’’>0; a22’’<0
Пусть I3>0
[pic]
В данном случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’ y’’2= -I3/I2
[pic]
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
[pic]
[pic]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1). Рассмотрим квадратную
часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение: ненулевой вектор ((, () координаты которого обращают в ноль
квадратичную часть называется вектором асимптотического направления
заданной кривой.
((, () – вектор асимптотического направления.
a11(2+2a12((+a22(2=0 (*)
Рассмотрим ((’, (’) параллельный ((, (): [pic] следовательно [pic]. Дробь
(/( характеризует вектор асимптотического направления.
Задача: выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го
порядка.
Решение: положим, что ((0 и поделим на (2, получим: a11((/()2+2a12(/(+a22=0
из этого квадратного уравнения найдем (/(.
[pic]
т.к. у линий гиперболического и параболического типов I2(0, то они имеют
асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно таких у него
нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
[pic]
((, ()1=(a,b)
((, ()2=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются направляющими векторами для
асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления, которые определяются
асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0, y=0
((, ()=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы лежит на оси симметрии
параболы, т.е. прямая асимптотического направления пересекает параболу в
одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет одно
асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема: Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой
степени от трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C(0 одновреенно.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема: Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим
уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках: [pic]
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C) и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
М1(x1;y1;z1); М2(x2;y2;z2); М3(x3;y3;z3)
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к. точки принадл. одной
плоскости то векторы компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6. Параметрическое ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой некомпланарных векторов.
V(V1;V2;V3); U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0), тогда плостость имеет вид: система:
x=x0+V1t+U1s и y=y0+V2t+U2s и z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
[pic]
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0, поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между
плоскостями сводится к отысканию его между нормальными векторами.
[pic]
| |  скачать работу |
Билеты по аналитической геометрии |
