Динамическое и линейное программирование
|[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
Значения функции состояния [pic] приведены в таблице 10.:
|Таблица 10. |
|[pic] |0 |1 |2 |3 |4 |5 |
|[pic] |9 |15 |21 |29 |37 |45 |
|[pic] |1 |2 |3 |4 |5 |6 |
Положим [pic], тогда:
[pic], где:
[pic]
Здесь минимум берется по переменной [pic], которая может изменяться в
пределах:
[pic]
где верхняя граница зависит от параметра состояния [pic], который принимает
значения на отрезке:
[pic]
т.е. [pic], при этом из балансового уравнения следует, что остаток товара
на начало второго месяца [pic] связан с объемом производства [pic] и с
параметром состояния [pic] соотношением:
[pic]
Тогда:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic]* |
|([pic]) |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic]* |
Наименьшие из полученных значений [pic], есть [pic], т.е.:
[pic]
причем минимум достигается при [pic] и [pic], т.е.:
[pic] и [pic]
эти значения указываем в результирующей таблице 11.
Аналогично:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|([pic]) |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic]* |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|([pic]) |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic]* |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|([pic]) |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic]* |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
Таким образом:
|Таблица 11. |
|[pic] |0 |1 |2 |3 |
|[pic] |21 |27 |34 |41 |
|[pic] |0 |2 |3 |3 |3 |
Теперь положим, что [pic], тогда:
[pic], где:
[pic]
Если оставлять продукцию к концу третьего периода не нужно, тогда
параметр состояния принимает единственное значение [pic], следовательно,
переменная [pic] может изменяться в пределах:
[pic]
а из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало третьего
месяца [pic] связан с объемом производства соотношением:
[pic]
Тогда:
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|([pic]) |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic]* |
Следовательно, получаем:
[pic]
причем минимум достигается при [pic], т.е.:
[pic]
Таким образом, получили минимальные общие затраты на производство и
хранение продукции и последнюю компоненту оптимального решения:
[pic]
Для нахождения остальных компонент оптимального решения, необходимо
воспользоваться обычными правилами динамического программирования.
Тогда т.к. [pic], то [pic], откуда [pic], следовательно, из таблицы 11.:
[pic] или [pic]
Аналогично т.к. [pic], то [pic] или [pic], откуда [pic] или [pic],
следовательно, из таблицы 10.:
[pic] или [pic]
Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет два
варианта:
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
при этом, каждый вариант оптимального плана производства обеспечивает
минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере
39 денежных единиц.
7. Анализ доходности и риска финансовых операций
Финансовой называется операция, начальное и конечное состояние которой
имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации
дохода в виде разности между конечной и начальной оценками. При этом
практически все финансовые операции проходят в условиях неопределенности и,
следовательно, их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому при
проведении финансовой операции возможно получение как прибыли, так и
убытка.
Поэтому задача анализа доходности и риска финансовой операций заключается
в оценке финансовой операции с точки зрения ее доходности и риска. Наиболее
распространенным способом оценки финансовой операций является представление
дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего
квадратического отклонения этого случайного дохода.
Например, если доход от проведения некоторой финансовой операции есть
случайная величина [pic], то средний ожидаемый доход [pic]– это
математическое ожидание случайной величины [pic]:
[pic], где [pic] есть вероятность получить доход [pic]
Т.к. среднеквадратическое отклонение:
[pic], где [pic]
это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего
ожидаемого дохода, то его можно считать количественной мерой риска операции
и обозначить как [pic]:
[pic]
Допустим, что по четырем финансовым операциям [pic], [pic], [pic], [pic]
ряды распределения доходов и вероятностей получения этих доходов имеют вид:
|[pic]|2 |6 |8 |4 | |[pic]|2 |3 |4 |10 |
| |[pic]|[pic]|[pic]|[pic]| | |[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
| | | | | | | | | | | |
|[pic]|0 |1 |2 |8 | |[pic]|0 |4 |6 |10 |
| |[pic]|[pic]|[pic]|[pic]| | |[pic]|[pic]|[pic]|[pic]|
Тогда т.к. [pic], то средний ожидаемый доход каждой операции имеет вид:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Т.к. [pic], то риски каждой финансовой операции имеют вид:
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
Нанесем средние ожидаемые доходы [pic] и риски [pic] каждой операции на
плоскость (см. график 2.).
Тогда, чем правее точка на графике, тем более доходная операция, чем
точка выше – тем более она рисковая.
Для определения операции оптимальной по Парето, необходимо на графике
найти точку, которую не доминирует никакая другая точка.
Так как точка [pic] доминирует точку [pic], если [pic] и [pic], то из
графика 2. видно, что 3-ая операция доминирует 2-ую операцию, а 1-ая
операция доминирует 3-ую и 2-ую операции. Но 1-ая и 4-ая операции
несравнимы, т.к. доходность 4-ой операции больше, но и риск ее тоже больше,
чем доходность и риск 1-ой операции, следовательно, 1-я операция является
оптимальной по Парето.
Для нахождения лучшей операции можно применить взвешивающую формулу,
которая для пар [pic] дает одно число, по которому можно определить лучшую
операцию. Допустим, что взвешивающей формулой будет [pic], тогда:
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
Отсюда видно, что 1-ая финансовая операция – лучшая, а 2-ая – худшая.
8. Оптимальный портфель ценных бумаг
Задача о формировании оптимального портфеля ценных бумаг – это задача о
распределении капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку
набора ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг, удовлетворяющих
возможность получения некоторого дохода.
Из характеристик ценных бумаг наиболее значимы две: эффективность и
рискованность. Т.к. эффективность [pic] – это некоторый обобщенный
показатель дохода или прибыли, то ее считают случайной величиной, а ее
математическое ожидание обозначают как [pic]. Рискованность ценных бумаг
отождествляют со средним квадратическим отклонением, при этом дисперсию
обычно называют вариацией и обозначают как [pic], т.е.:
[pic], где [pic]
Примем следующие обозначения:
|[pic|Номер вида ценных бумаг
| |  скачать работу |
Динамическое и линейное программирование |
