Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности
Другие рефераты
1. Двойственность в линейном программировании
Понятие двойственности. С каждой задачей линейного программирования
тесно связана другая линейная задача, называемая двойственной.
Первоначальная задача называется исходной.
Связь исходной и двойственной задач состоит в том, что коэффициенты Cj
функции цели исходной задачи являются свободными членами системы
ограничений двойственной задачи, свободные члены Bi системы ограничений
исходной задачи служат коэффициентами функции цели двойственной задачи, а
матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи является
транспонированной матрицей коэффициентов системы ограничений исходной
задачи. Решение двойственной задачи может быть получено из решения исходной
и наоборот.
В качестве примера рассмотрим задачу использования ресурсов.
Предприятие имеет т видов ресурсов в количестве bi (i = 1, 2, ..., m)
единиц, из которых производится n видов продукций. Для производства 1 ед. i-
й продукции расходуется aij ед. t-гo ресурса, а ее стоимость составляет Cj
ед. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий ее максимальный выпуск
в стоимостном выражении. Обозначим через xj (j =1,2, ..., n) количество ед.
j-й продукций, Тогда исходную задачу сформулируем так.
Найти вектор Х =(x1, x2, …, xn), который удовлетворяет ограничениям
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ( b1,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ( b2, xj ( 0 (j =1,2,
..., n)
…………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ( bm,
и доставляет максимальное значение линейной функции
Z = C1x1 + C2x2 + … + Cnxn,
Оценим ресурсы, необходимые для изготовления продукции. За единицу
стоимости ресурсов примем единицу стоимости выпускаемой продукции.
Обозначим через уi (j =1,2, ..., m) стоимость единицы i-го ресурса. Тогда
стоимость всех затраченных ресурсов, идущих на изготовление единицы j-й
продукции, равна [pic]. Стоимость затраченных ресурсов не может быть меньше
стоимости окончательного продукта, поэтому должно выполняться неравенство
[pic]( Cj, j =1,2, ..., n. Стоимость всех имеющихся ресурсов выразится
величиной [pic]. Итак, двойственную задачу можно сформулировать следующим
образом.
Найти вектор Y =(y1, y2, …, yn), который удовлетворяет ограничениям
a11y1 + a12y2 + … + am1ym ( C1,
a12y1 + a22y2 + … + am2ym ( C2, yj ( 0 (i =1,2,
..., m)
…………………………………
a1ny1 + a2ny2 + … + amnym ( Cm,
и доставляет минимальное значение линейной функции
f = b1y1 + b2y2 + … + bmym.
Рассмотренные исходная и двойственная задачи могут быть экономически
интерпретированы следующим образом.
Исходная задача. Сколько и. какой продукции xj (j =1,2, ..., n)
необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях Cj (j =1,2, ..., n)
единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i =1,2, ..., n)
максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.
Д в о й с т в е н н а я з а д а ч а. Какова должна быть цена единицы
каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов bi и величинах
стоимости единицы продукции Ci минимизировать общую стоимость затрат?
Переменные уi называются оценками или учетными, неявными ценами.
Многие задачи линейного программирования первоначально ставятся в виде
исходных или двойственных задач, поэтому имеет смысл говорить о паре
двойственных задач линейного программирования.
2. Несимметричные двойственные задачи. Теорема двойственности.
В несимметричных двойственных задачах система ограничений исходной
задачи задается в виде равенств, а двойственной — в виде неравенств, причем
в последней переменные могут быть и отрицательными. Для простоты
доказательств постановку задачи условимся записывать в матричной форме.
Исходная задача. Найти матрицу-столбец X = (x1, x2, …, xn), которая
удовлетворяет ограничениям
(1.1) AX = A0, Х ( 0
и минимизирует линейную функцию Z = СХ.
Двойственная задача. Найти матрицу-строку Y = (y1, y2, …, ym), которая
удовлетворяет ограничениям
(1.2) YA ( С
и максимизирует линейную функцию f = YA0
В обеих задачах C = (c1, c2, …, cn) - матрица-строка, A0 = (b1, b2, …,
bm) — матрица-столбец, А = (aij) — матрица коэффициентов системы
ограничений. Связь между оптимальными планами пары двойственных задач
устанавливает следующая теорема.
Теорема (теорема двойственности). Если из пары двойственных задач одна
обладает оптимальным планом, то и другая имеет решение, причем для
экстремальных значений линейных функций выполняется соотношение
min Z = max f.
Если линейная функция одной из задач не ограничена, то другая не имеет
решения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что исходная задача обладает
оптимальным планом, который получен симплексным методом. Не нарушая
общности, можно считать, что окончательный базис состоит из т первых
векторов A1, A2, ..., Am. Тогда последняя симплексная таблица имеет вид
табл. 1.1.
Т а б л и ц а 1.1
|i |Базис|С |A0|C1 |C2 |… |Cm |Cm+1 |… |cn |
| | |базис| | | | | | | | |
| | |а | | | | | | | | |
| | | | |A1 |A2 |… |Am |Am+1 |… |An |
|1 |A1 |C1 |x1|1 |0 |..|0 |x1, m+1 |… |x1n |
|2 |A2 |C2 | |0 |1 |. |0 |x2, m+1 |… |x2n |
|. |. |. |x2|. |. |..|. |. |. |. |
|. |. |. | |. |. |. |. |. |. |. |
|. |. |. |. |. |. |. |. |. |. |. |
|m |Am |Cm |. |0 |0 |. |1 |xm, m+1 |… |xmn |
| | | |. | | |. | | | | |
| | | |xm| | |. | | | | |
|m+1 |Zi - Cj |Z0|Z1 – C1 |Z2 – C2 |..|Zm – Cm |Zm+1 – |… |Zn – |
| | | | | |. | |Cm+1 | |Cn |
Пусть D — матрица, составленная из компонент векторов окончательного
базиса A1, A2, ..., Am; тогда табл. 1.1 состоит из коэффициентов разложения
векторов A1, A2, ..., An исходной системы по векторам базиса, т. е. каждому
вектору Aj в этой таблице соответствует такой вектор Xj что
(1.3) Aj = DXj (j= 1,2, ,.., n).
Для оптимального плана получаем
(1.4) A0 = DX*,
где X* = (x*1, x*2, …, x*m).
Обозначим через [pic] матрицу, составленную из коэффициентов разложения
векторов Аj (j = 1, 2, ..., n), записанных в табл. 1.1. Тогда, учитывая
соотношения (1.3) и (1.4), получаем:
(1.5) A = D[pic], D-1A = [pic],
(1.6) A0=DX*; D-1A0 = X*,
(1.7) min Z= C*X*,
(1.8) [pic]= C*[pic]—C ( 0,
где С* = (C*1, C*2, …, C*m), С = (C1, C2, …, Cm, Cm+1, …, Cn), a [pic]
= (C*X1 – C1; С*Х2 - С2, ..., C*Xn – Cn) = (Z1 – С1; Z2 - C2; ..., Zn —
Cn) — вектор, компоненты которого неположительны, так как они совпадают с
Zj — Cj ( 0, соответствующими оптимальному плану.
Оптимальный план исходной задачи имеет вид X* = D-1 А0, поэтому
оптимальный план двойственной задачи ищем в виде
(1.9) Y* = C*D-1.
Покажем, что Y* действительно план двойственной задачи. Для этого
ограничения (1.2) запишем в виде неравенства YA — С ( 0, в левую часть
которого подставим Y*. Тогда на основании (1.9), (1.5) и (1.8) получим
Y* А – С = С* D-1А – С = С* [pic] - С ( 0,
откуда находим Y*A ( С.
Так как Y* удовлетворяет ограничениям (1.2), то это и есть план
двойственной задачи. При этом плане значение линейной функции двойственной
задачи f (Y*) = Y*A0. Учитывая соотношения (1.9), (1.6) и (1.7), имеем
(1.10) f (Y*) = Y*A0 = C*D-1 A0 = C*X* = min Z(X).
Таким образом, значение линейной функции двойственной задачи от Y*
численно равно минимальному значению линейной функции исходной задачи.
Докажем теперь, что Y* является оптимальным планом. Умножим (1.1) на
любой план Y двойственной задачи, а (1.2) — на любой план X исходной
задачи: YAX=YA0=f (Y), YAX ( СХ = Z (X), отсюда следует, что для любых
планов Х и Y выполняется неравенство
(1.11) f (Y) ( Z (X).
Этим же соотношением связаны и экстремальные значения max f (Y) ( min
Z (Х). Из последнего неравенства заключаем, что максимальное значение
линейной функции достигается только в случае, если max f (Y) = min Z (X),
но это значение [см. (1.10)] f (Y) достигает при плане Y*, следовательно,
план Y* — оптимальный план двойственной задачи.
Аналогично можно доказать, что если двойственная задача имеет решение,
то исходная также обладает решением и имеет место соотношение max f (Y) =
min Z (X).
Для доказательства второй части теоремы допустим, что линейная функция
исходной задачи не ограничена снизу. Тогда из (1.11) следует, что f (Y) (
-( . Это выражение лишено смысла, следовательно, двойственная задача не
имеет решений.
Аналогично предположим, что линейная функция двойственной задачи не
ограничена сверху. Тогда из (1.11) получаем, что Z (X) ( +(. Это выражение
также лишено смысла, поэтому исходная задача не имеет решений.
Доказанная теорема позволяет при решении одной из двойственных задач
находить оптимальный п
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
