Функция және оның түрлері,оларды есептеп шығару теоремалары
m>єZболатындай реттелген (х; у; z) үштігінің fжиынын айтады және әрбір реттелген (х; у) сандар парыбұл жиынның бір тек бір ғана үштігіне енеді, ал әрбір zбір үштіктіңеңболмағанда біреуіне кіреді. Мұндай кезде реттелген (х; у)сандар парына zсаны сәйкес қойылды делініп, z=f(x; у)деп жазады. zсаны fфункциясының(х; у)нүктесіндегі мәні. z– тәуелді айнымалы, ал х және у – тәуелсіз айнымалылар (немесе аргументтер); {(х; у)} жиыны - функцияның анықталу облысы, ал z жиыны-функцняның мәндер жиыны.
Екі айнымалының функциясын z=f(x; у)деп белгілейді.
Екі айнымалының функцияның шегі ұғымын қарастыру үшін берілген М0(х0; у0) нүктесінің δ– аймағы және жазықтықтың жинақты нүктелер тізбегі ұғымын енгізейік.
Аныктама 2. х және у координаталары (х-х0)² + (у-у0)² <δ теңсіздігін қанағаттандыратын, немесе, қысқаша, ρ(М; М0) < δ, барлық {М(х; у)} нүктелер жиыны, М0 (х0; у0)нүктесінің δ-аймағы деп аталады.
М1(х1; у1), М2 (х2; у2), ..., Мп (хп; уп),... нүктелер тізбегін қарастырайық. Оны қысқаша {Мп} деп белгілейік.
Анықтама 3. {Мп} нүктелер тізбегі М0 нүктесіне жинақты деп аталады, егер кез-келген ε>0 саны үшін N0номері барлықn>N0 үшін ρ(М; М0)<δ теңсіздігі орындалатындай болып табылыса. Бұл жағдайда М0 нүктесі {Мп} тізбегінің шегі деп аталып,
lim Мп - М0 немесе Мп→М0 егер п→∞, депбелгіленеді.
п→∞
Анықтама 4. А саны z=f(M)фунциясының М0нүктесіндегі шегі деп аталады, егер М0 нүктесіне жинақталатын кез-келген Мп нүктелер тізбегі f(M1), f(M2), ..., f(Mп), ... функцияның мәндер жиыны А-ға жинақталса.
Бір айнымалылы функция үшін орындалған көптеген шек туралы қасиеттер бірнеше айнымалылы функция үшін де дұрыс болыптабылатынын айта кеткен дұрыс.
Теорема 1. ƒ(М) және g(М)функциялары бір {М} жиынында анықталып М0нүктесіндегі шегі В және С болсын. Онда f(M)±g(M), f(M)۰g(M)және f(M)/g(M)(С≠0)функцияларының М0нүктесінде шегі болып, сәйкес В ± С,В۰Сжәне В/С болады.
Айталық, қандай да бір {М} жиынында ƒ (М) функциясы анықталып, М0нүктесі {М} және М0 нүктесінің кез-келген δ-аймағы {М} жиынының барлық нүктелерін қамтысын.
Анықтама 5. z=ƒ(M)функциясы М0нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер функцияның бұл нүктеде шегі болып және ол функцияның осы нүктедегі мәніне тең болса, яғни.
limf(M) = f(M0) немесе limf(x;y) = f(x0;y0).
М→М0 х→х0
у→у0
Функцияның үздіксіздік қасиеттері орындалмайтын нүктелері функцияныңүзіліс нүктелерідеп аталады.
Көп айнымалылы функцияның дифференциалдануы және
дербес туындылары.
z=ƒ(M)функциясы М(х; у)нүктесінің қандай да бір аймағында анықталсын. М нүктесінің х айнымалысына қалауымызша алынған Δх өсімше беріп, ал у айнымалысын өзгертусіз қалдырамыз, яғни жазықтықтың М (х; у)нүктесінен М1(х+ Δх; у)нүктесіне көшеміз. Сонымен қоса Δх, М нүктесі М1нүктесінің көрсетілген аймағында жататындай етіліп алынады. Онда функцияның сәйкес өсімшесі
Δxz=f(x+ Δx; y)-f(x; у)
Функцияның х айнымалысы бойынша М (х; у)нүктесіндегі дербес өсімшесі деп аталады. Осыған ұқсас функцияның у айнымалысы бойынша дербес өсімшесі де келесідей анықталады
Δуz=f(x; y+ Δy)-f(x; у).
Анықтама 1. Егер шегі
Δxz Δуz
lim —— (lim—— )
Δх→0 Δх Δу→0
бар болса, онда ол z=ƒ(M)функциясының М нүктесіндегі х айнымалысы ( у айнымалысы) бойынша дербес туындысы деп аталады және келесі символмен белгіленеді:
z΄x,ƒ΄x,д²z ,дƒ ( z΄у,ƒ΄у,д²z ,дƒ).
&
| |  скачать работу |
Функция және оның түрлері,оларды есептеп шығару теоремалары | 
