Функция және оның түрлері,оларды есептеп шығару теоремалары

Анықтама 2. z=ƒ(M)функциясының М(х; у)нүктесіндегі, х және у айнымалыларының сәйкес Δх және Δу өсімшелеріне қатысты толық өсімшесі деп Δz=ƒ(x+Δx; y+Δy)-ƒ(x;y)функциясын айтады.

Анықтама3. z=ƒ(M)функциясы М нүктесінде дифференциалданады деп аталады, егер оның бұл нүктедегі толық өсімшесі келесі түрде өрнектелетін болса:

              Δz = АΔх + ВΔy+ α(Δx; Δy) Δx + β(Δx; Δy)Δy,

мұндағы А және В - сандары, Δх және Δy мәндеріне тәуелсіз, ал α(Δх; Δy)және В(Δх; Δy)- Δх→0, Δу→0болғандағы шексіз аз функциялар.

Теорема 1. Егер z=ƒ(M)функциясы М нүктесінде дифференциалданатын болса, онда ол бұл нүктеде үздіксіз.

Теорема2. Егер z=ƒ(M)функциясы М(х; у)нүктесінде дифференциалданатын болса, онда оныңбұл нүктедеf΄_x(x;у)және f΄_y(x;y)дербес туындылары болады, сонымен қоса

                         f΄_x(x;y)= A,f΄_y(x;y)= B.

Теорема3.(функция дифференциалдануының жеткілікті шарты). Егер z=ƒ(M)функциясының М нүктесінің қандай да бір  δ- маңайында дербес туындылары болып және М нүктесініңөзінде бұл туындылар үздіксіз болса, онда функция М дифференциалданады

Жоғары ретгі дербес туынды ұғымдарын да қарастыруға болады. Олар келесі түрде анықталады:

    д²z  ₌  д ₍дz_),  д²z  ₌  д ₍дz_),  д²z  ₌д ₍дz_),д²z  ₌д ₍дz_).

    дх²      дх   дх  дхдy   дy  дх   дхдy   дх  дy  дy²     дy  дy

д²z  _,  д²z   түріндегі дербес туындылар М аралас туындылар

дхдy  дyдx

депаталады.

Теорема 4. Егер    д²z  _,  д²z     туындылары М нүктесінің

                            дхду  дудх

қандай да бір δ-маңайында бар болып және М нүктесінің өзінде бұл туындылар үздіксіз болса, онда олар бұл нүктеде өзара тең және келесі теңдік орындалады

д²z  _,(x;y₎₌д²z _,(x;y_).

дхду           дудх

Теорема 5 (Тейлор). Айталықz=f(x; у)функциясы (п+1)-шіретке дейінгі дербес туындыларымен қоса М нүктесінің қандай да бір δ- маңайында үздіксіз болсын. М1(х+Δх; у+Δу)нүктесі осы аймақта жатсын. Онда бұл функцияныңМ нүктесіндегі Δf=ƒ(M1)-ƒ(M)өсімшесін келесі түрде көрсетуге болады

_{Δƒ=dƒ(х;у)}d²f(x;y) _+...dⁿf(x;y)₊dⁿ⁺¹ƒ(х + θΔх;у + θΔу),_0<θ<1

                   2!              п!                    (п+1)!

          Екі айнымалылы функцияның экстремумдары.

z=f(x;у)функциясы М₀ (х₀;у₀)М нүктесінің қандай да бір маңайында анықталсын.

Анықтама. z=f(x;у)функциясының М₀ (х₀; у₀) нүктесінде локальды максимумы (минимумы) болады, егер кез-келген М (х;у) нүктесі үшін f(x;y)≤f(x₀;y₀)(f(x;y)≥f(x₀;y₀)) теңсіздігіорындалатындай М₀ нүктесінің маңайы бар болса.

Локальды максимум және локальды минимум нүктелері экстремум нүктелері деп аталады. Анықтамадан шығатыны, егер z=f(x;у)функциясының М₀ нүктесінде экстремумы болса, онда М₀ нүктесінің қандай да бір маңайында Δz=ƒ(M)-ƒ(M₀) толық өсімшесі келесі теңсіздіктің бірін қанағаттандырады

Δz ≤ 0     локальды максимум болған жағдайда,

Δz ≥ 0     локальды минимума болған жағдайда.

Және керісінше, егер М₀ нүктесінің қандай да бір аймағында бұл теңсідіктің бірі орындалса, онда функнияның М₀ нүктесінде экстремумы бар болады.

Теорема 1 (экстремумның қажетті шарты). z=ƒ(x;у)функциясының М₀ (х₀;у₀)нүктесінде локальды максимумы болып және М₀ нүктесінде бірінші ретті дербес туындылары болса, онда бұл нүктеде бірінші ретті дербес туындылары нөлге тең, яғни        f΄_x(x₀;y₀) = 0, f'_y(x₀;y₀) = 0.

Теорема 2 (экстремумның жеткілікті шарты). М₀ (x₀;y₀) нүктесі және оның қандай да бір маңайында f(x; у) функциясының үздіксіз екінші ретті дербес туындылары бар болсын.

_Δ= f"_xx(x₀;y₀) f"_xу(x₀;y₀)‌‌‌

     f"_xу(x₀;y₀) f"_уу(x₀;y₀)    белгілеуін енгізейік, онда:

а)   егер   Δ>0      болса,   онда  М₀  нүктесінде   функцияның

экстремумы  бар,  және де   f"_xx<0   болса,  онда ол

1 2 3 4

скачать работу

Отправка СМС бесплатно