Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения
(2) – разложение в ряд Тейлора.
Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 |< R, R > ? .
Формулы ЭЙЛЕРА.
Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;
[pic]
[pic]
[pic] (6)
Аналогично взяв Z = - ix получим :
[pic] (7)
Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :
[pic] (8)
В общем случае :
[pic] (9)
Известно, что :
[pic] (10)
Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и
гиперболическими косинусами и синусами:
[pic]
Ряд ЛОРАНА.
Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге
радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд
другим путем.
ТЕОРЕМА 1.
[pic]
Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R
раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.
Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.
Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ? , тогда
f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе.
Выполняется условие для существования интеграла Коши :
[pic]
(13)
[pic] (11)
Поскольку
[pic], то выражение [pic] можно представить как сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии со знаменателем [pic], т.е. :
[pic][pic]
[pic] (12)
Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на
1/(2?i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл
(13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :
[pic]
Обозначая [pic], получим : [pic] (14)
Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с
рядом (2) находим, что [pic]
(15)
ТЕОРЕМА 2.
Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в
точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она
представляется рядом :
[pic]
(16)
где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь
угодно большое число). Если обозначить [pic] (17) , получим :
[pic] (18)
ТЕОРЕМА 3.
Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 | m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.
При m>1 такой полюс будет называться простым.
[pic], если m > ? , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную
особенность.
Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|
| |  скачать работу |
Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения |
