Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов



 Другие рефераты
Чёрные дыры Черные Дыры История математики История открытия комплексных чисел

ВВЕДЕНИЕ

    Изучением дифференциальных уравнений в частных  производных  занимается
математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены  в
знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.
    Классические  уравнения  математической  физики   являются   линейными.
Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два  решения,
то функция (U + (V при любых постоянных ( и ( снова является  решением.  Это
обстоятельство    позволяет    построить     общее     решение     линейного
дифференциального  уравнения  из  фиксированного  набора  его   элементарных
решений и упрощает теорию этих уравнений.
    Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается  главным
образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных  уравнений.
Основным методом решения нелинейных  дифференциальных  уравнений  в  частных
производных выступает численное интегрирование.
    Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением  различных
физических процессов. Сюда относятся  явления,  изучаемые  в  гидродинамике,
теории   упругости,   электродинамике   и   т.д.   Возникающие   при    этом
математические задачи содержат много общих элементов  и  составляют  предмет
математической физики.
    Постановка  задач  математической  физики,  будучи  тесно  связанной  с
изучением  физических  проблем,  имеет  свои   специфические   черты.   Так,
например, начальная и конечная стадии процесса носят  качественно  различный
характер и требуют применения различных математических методов.
    Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно  широк.
В данной работе рассматриваются задачи математической физики,  приводящие  к
уравнениям с частными производными.
    Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение
каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач,  приводящих
к уравнениям рассматриваемого типа.


Глава 1. УРАВНЕНИЯ  ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

    Уравнения с частными производными 2-го  порядка  гиперболического  типа
наиболее часто встречаются в  физических  задачах,  связанных  с  процессами
колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа
                                    [pic]
называется волновым уравнением.  К  исследованию  этого  уравнения  приводит
рассмотрение процессов поперечных  колебаний  струны,  продольных  колебаний
стержня, электрических  колебаний  в  проводе,  крутильных  колебаний  вала,
колебаний газа и т.д.

                     1.1.1. Уравнение колебаний струны.
    В математической физике под  струной  понимают  гибкую,  упругую  нить.
Напряжения, возникающие в струне  в  любой  момент  времени,  направлены  по
касательной к ее профилю.  Пусть  струна  длины  [pic]  в  начальный  момент
направлена по отрезку оси Оx от 0 до [pic]. Предположим,  что  концы  струны
закреплены в точках [pic].  Если  струну  отклонить  от  ее  первоначального
положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны,  придать
в начальный момент ее точкам некоторую  скорость,  или  отклонить  струну  и
придать ее точкам  некоторую  скорость,  то  точки  струны  будут  совершать
движения – говорят, что  струна  начнет  колебаться.  Задача  заключается  в
определении формы  струны  в  любой  момент  времени  и  определении  закона
движения каждой точки струны в зависимости от времени.
    Будем  рассматривать  малые  отклонения  точек  струны  от   начального
положения. В силу  этого  можно  предполагать,  что  движение  точек  струны
происходит  перпендикулярно  оси  Ox  и  в   одной   плоскости.   При   этом
предположении процесс колебания струны  описывается  одной  функцией  [pic],
которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.



                                  Рис. 1.1.
    Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости [pic],  то
будем предполагать, что длина элемента струны [pic]  равняется  ее  проекции
на ось Ox, т.е. [pic].1 Также будем  предполагать,  что  натяжение  во  всех
точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
    Рассмотрим элемент струны [pic].



                                  Рис. 1.2.
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы  Т.  Пусть
касательные образуют с осью Ox углы [pic]. Тогда проекция  на  ось  Ou  сил,
действующих на элемент [pic], будет равна [pic]. Так как угол [pic] мал,  то
можно положить [pic], и мы будем иметь:
                                    [pic]
(здесь мы применили теорему Лагранжа  к  выражению,  стоящему  в  квадратных
скобках).
    Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние  силы,  приложенные  к
элементу, приравнять силе инерции. Пусть [pic] - линейная плотность  струны.
Тогда масса элемента струны будет [pic].  Ускорение  элемента  равно  [pic].
Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
                                   [pic].
Сокращая на [pic] и обозначая [pic], получаем уравнение движения
                                 [pic].                                  (1)
Это и есть волновое уравнение –  уравнение  колебаний  струны.  Для  полного
определения движения  струны  одного  уравнения  (1)  недостаточно.  Искомая
функция [pic] должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим,  что
делается  на  концах  струны  [pic],  и  начальным   условиям,   описывающим
состояние струны в начальный  момент  (t  =  0).  Совокупность  граничных  и
начальных условий называется краевыми условиями.
    Пусть,  например,  как  мы  предполагали,  концы   струны   при   [pic]
неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:
                                      [pic]                             (2’)
                                     [pic]                             (2’’)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
    В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей
придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом,  должно
быть
                                           [pic]                        (3’)
Далее, в начальный  момент  должна  быть  задана  скорость  в  каждой  точке
струны, которая определяется функцией [pic]. Таким образом, должно быть
                                          [pic]                        (3’’)
Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.
    Замечание. В частности, может быть [pic] или [pic].  Если  же  [pic]  и
[pic], то струна будет находится в покое, следовательно, [pic].

            1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

    Как  указывалось  выше,  к  уравнению  (1)   приводит   и   задача   об
электрических  колебаниях  в   проводах.   Электрический   ток   в   проводе
характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t),  которые  зависят
от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая  элемент  провода
[pic], можем написать,  что  падение  напряжения  на  элементе  [pic]  равно
[pic]. Это падение напряжения складывается из омического, равного  [pic],  и
индуктивного, равного [pic]. Итак,
                                                  [pic]                  (4)
где R и L –  сопротивление  и  коэффициент  индуктивности,  рассчитанные  на
единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в  направлении,
обратном возрастанию v. Сокращая на [pic], получаем уравнение
                                            [pic]                        (5)
Далее, разность токов, выходящего из элемента [pic] и входящего  в  него  за
время [pic], будет
                                    [pic]
Она расходуется на  зарядку  элемента,  равную  [pic],  и  на  утечку  через
боковую  поверхность  провода  вследствие  несовершенства  изоляции,  равную
[pic] (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения  и  сокращая
на [pic], получим уравнение
                                            [pic]                        (6)
Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.
    Из системы уравнений (5) и (6)  можно  получить  уравнение,  содержащее
только искомую функцию i (x, t),  и  уравнение,  содержащее  только  искомую
функцию v  (x,  t).  Продифференцируем  члены  уравнения  (6)  по  x;  члены
уравнения  (5)  продифференцируем  по  t  и  умножим  их  на  С.   Произведя
вычитание, получим:
                                    [pic]
Подставляя в последнее уравнение выражение [pic] из уравнения (5), получим:
                                    [pic]
или
                                                        [pic]            (7)
Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):
                                                        [pic]            (8)
    Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то
уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:
                                    [pic]
где обозначено: [pic]. Исходя из физических условий,  формулируют  граничные
и начальные условия задачи.

§1.2. Метод разделения переменных.

                1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

    Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее
распространенных  методов  решения  уравнений  с   частными   производными.
Изложение  этого  метода  мы  проведем  для  задачи  о  колебаниях  струны,
закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

                                    [pic]

удовлетворяющее однородным граничным условиям
                                  [pic]                                  (9)
и начальным условиям
                                      [pic]                             (10)
    Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений  также
является решением этого уравнения.
12345
скачать работу


 Другие рефераты
Эллада
Аспаптар
Мозг и память человека: молекулярный аспект
Проблема опустынивания


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ