Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
[pic],
т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают
в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).
2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы. Время
[pic] запаздывания максимумов (минимумов) температуры в почве от
соответствующих моментов на поверхности пропорционально глубине
[pic]
(второй закон Фурье).
3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от периода колебаний
температуры на поверхности. Относительное изменение температурной амплитуды
равно
[pic]
Эта формула показывает, что чем меньше период, тем меньше глубина
проникновения температуры. Для температурных колебаний с периодами Т1 и Т2
глубины x1 и x2, на которых происходит одинаковое относительное изменение
температуры, связаны соотношением
[pic]
(третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и годовых
колебаний, для которых Т2 = 365 Т1, показывает, что
[pic]
т.е. что глубина проникновения годовых колебаний при одинаковой амплитуде
на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины проникновения суточных
колебаний.
Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория относится к
распространению тепла в сухой почве или горных породах. Наличие влаги
усложняет температурные явления в почве, при замерзании происходит
выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.
Температуропроводность является одной из характеристик тела, важных для
изучения его физических свойств, а также для различных технических
расчетов. На изучении распространения температурных волн в стержнях основан
один из лабораторных методов определения температуропроводности.
Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживается периодическая
температура [pic] (t). Представив эту функцию в виде ряда Фурье
[pic]
[pic]
[pic]
где Т – период, и взяв температурные волны, соответствующие каждому
слагаемому, получим, что температура u (x, t) для любого x будет
периодической функцией времени и ее n-я гармоника равна
[pic]
[pic]
или
[pic]
Эта формула показывает, что если произвести измерение температуры в
каких-нибудь двух точках, x1 и x2, за полный период, то, находя
коэффициенты an (x1), bn (x1), an (x2), bn (x2) при помощи гармонического
анализа, можно определить коэффициент температуропроводности стержня а2.
Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ.
§3.1. Дифракция излучения на сферической частице.
Перейдем теперь к рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн
на сферической частице. Как известно, в случае монохроматического излучения
частоты [pic] система уравнений Максвелла сводится к системе уравнений для
напряженностей электрического [pic] и магнитного [pic] полей:
[pic] (1)
где [pic] - волновое число для пустоты; с0 – скорость света в вакууме.
Обозначим через k = k0 m – волновое число в среде с комплексным показателем
преломления m = n – ix. Показатели преломления и поглощения (n и x)
называются оптическими постоянными, их зависимость от ( обычно известна из
эксперимента.
Задача о разыскании шести неизвестных функций ([pic]) может быть
сведена к задаче о разыскании двух функций – электрического и магнитного
потенциалов (U1 и U2), которые являются решениями колебательного уравнения.
Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм частных решений с
неопределенными коэффициентами, которые определяются «сшиванием» значений
внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы составляющие полей легко
вычисляются дифференцированием.
Пусть на сферическую частицу радиуса а, центр которой совмещен с
началом координат, в отрицательном напрвлении оси Oz падает линейно
поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением
электрических колебаний, а ось Oy – магнитных. Электрическое и магнитное
поля в падающей волне описываются формулами:
[pic] (2)
где ka = mak0 – величина волнового вектора падающего излучения во внешней
среде с вещественным показателем преломления ma.
Рис. 3.1. Сферическая система координат для изучения
дифракции света на шаре.
В дальнейшем в промежуточных формулах всюду будет опущен множитель Е0,
который будет внесен в окончательные выражения для полей.
В сферической системе координат, в которой естественно решать данную
задачу, уравнения Максвелла (1) имеют вид:
[pic]
[pic] (5)
[pic] (6)
[pic] (7)
[pic] (8)
Падающее поле возбуждает в шаре внутреннее поле, а во внешнем
пространстве – дифрагированное поле, причем все эти поля должны иметь оду и
ту же временную зависимость, т.е. частоту. Произвольное электромагнитное
поле будем представлять как суперпозицию двух типов колебаний. Первый тип
назовем электрическими колебаниями и будем считать, что у этих колебаний
радиальная составляющая магнитного поля во всех точках равна нулю:
[pic] (9)
Второй тип – магнитные колебания:
[pic] (10)
В случае электрических колебаний из уравнения (6) получим
[pic]
Это соотношение, очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что
[pic] есть производные от некоторой третьей функции [pic]: первая – по
[pic], а вторая – по [pic]:
[pic]
Подставляя эти соотношения в формулы (4) и (5) получим
[pic]
Этим соотношениям можно удовлетворить, если положить [pic] где [pic] -
некоторая новая функция. Тогда найдем [pic]. Если теперь вместо функции
[pic] ввести [pic], то формула (3) получит вид
[pic] (11)
тогда как (7) и (8) приводятся к одному и тому же волновому уравнению для
функции [pic]
[pic]
(12)
Используя указанные выше соотношения и заменяя в выражении для [pic]
производные по [pic] через производные по r из уравнения (12), получим
следующие соотношения:
[pic] (13)
которые выражают все составляющие полей для случая [pic] через одну функцию
[pic] - потенциал электрических колебаний. Подставив эти выражения в
уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что равенства (13) образуют
решение уравнений Максвелла, если U1 является решением волнового уравнения.
Аналогично для магнитных колебаний все составляющие полей могут быть
выражены через некоторую функцию [pic] - потенциал магнитных колебаний.
В общем случае в поле присутствуют колебания обоих типов. Для
составляющих полей получим при этом следующие выражения:
[pic] (14)
Функции U1 и U2 являются решением волнового уравнения.
[pic] (15)
которое будем решать по методу Фурье (значок у U временно опущен, он
появится при рассмотрении граничных условий, которые для U1 и U2 различны).
В качестве частного решения положим
[pic] (16)
Подставляя (16) в (13) и разделяя переменные, получим для f и Y следующие
уравнения:
[pic] (17)
[pic] (18)
Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное решение на всей сфере
только для [pic], где n = 0, 1, 2… В этом случае его решением являются
сферические функции:
[pic] (19)
где [pic] а [pic] - полином Лежандра. В уравнении (17) сделаем подстановку
[pic], тогда для Rn (x) получим следующее уравнение (x = kr):
[pic] (20)
Это уравнение Бесселя и его решением являются цилиндрические функции с
полуцелым индексом [pic]. Таким образом, n-е частное решение уравнения (15)
будет
[pic] (21)
Из всех цилиндрических функций только бесселевы функции первого рода [pic]
конечны в нуле. Поэтому только они могут быть использованы для решения
внутри шара. Вне шара, в соответствии с принципом излучения, решение должно
иметь характер расходящейся волны. Так как временной множитель выбран в
виде [pic], то только ханкелевская функция второго рода [pic] дает волну,
расходящуюся из источника дифракции [pic]. Обозначим
[pic] (22)
тогда частное решение, очевидно, следует представить в виде суп
| |  скачать работу |
Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов |
