Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
Имея достаточно большое число частных
решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми
коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения
[pic]
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям
[pic] (11)
и представимое в виде произведения
[pic] (12)
где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только
переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:
[pic]
или, после деления на XT,
[pic] (13)
Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно
удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ [pic], t › 0. Правая часть
равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х.
Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим,
что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов
сохраняют постоянное значение
[pic] (14)
где [pic] – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со
знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.
Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения
для определения функций X (x) и T (t)
[pic] (15)
[pic] (16)
Граничные условия (11) дают:
[pic]
Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным
условиям:
X(0) = X([pic]) = 0, (17)
Так как иначе мы имели бы
[pic]
в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для
функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных
условий нет.
Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к
простейшей задаче о собственных значениях:
найти те значения параметра [pic], при которых существуют нетривиальные
решения задачи:
[pic] (18)
а также найти эти решения. Такие значения параметра [pic] называются
собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения –
собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу
часто называют задачей Штурма – Лиувилля.
Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр [pic] отрицателен, равен
нулю или положителен.
1. При [pic] ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений.
Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид
[pic]
Граничные условия дают:
Х (0) = С1 + С2 = 0;
[pic][pic]
т. е.
[pic]
Но в рассматриваемом случае [pic] – действительно и положительно, так что
[pic]. Поэтому
С1 =0, С2 = 0
и, следовательно,
Х (х)[pic]0.
2. При [pic] = 0 также не существует нетривиальных решений.
Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет
вид
Х (х) = С1х + С2.
Граничные условия дают:
[pic]
т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,
Х (х)[pic]0.
3. При [pic] › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде
[pic]
Граничные условия дают:
[pic]
Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D2[pic]0, поэтому
[pic] (19)
или
[pic]
где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18)
возможны лишь при значениях
[pic]
Этим собственным значениям соответствуют собственные функции
[pic]
где Dn – произвольная постоянная.
Итак, только при значениях [pic], равных
[pic] (20)
существуют нетривиальные решения задачи (11)
[pic] (21)
определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили
равным единице. Этим же значениям [pic]n соответствуют решения уравнения
(9)
[pic] (22)
где An и Bn – произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции
[pic] (23)
являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным
условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна
из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут
удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для
частных случаев начальных функций ((x) и ((x).
Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу
линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений
[pic] (24)
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные
условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24)
удовлетворяла условиям (10)
[pic] (25)
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и
кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке [pic],
разлагается в ряд Фурье
[pic] (26)
где
[pic] (27)
Если функции ((x) и ((x) удовлетворяют условиям разложения в ряд
Фурье, то
[pic] (28)
[pic] (29)
Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения
начальных условий надо положить
[pic] (30)
чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.
Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по
формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование,
представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и
удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим
методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае,
когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция [pic]
должна быть дважды дифференцируемой, а [pic] - один раз дифференцируемой.
Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
1. Уравнение распространения тепла в стержне.
Рассмотрим однородный стержень длины [pic]. Будем предполагать, что
боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках
поперечного сечения стержня температура одинакова. Изучим процесс
распространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет совпадать с точкой
х = 0, а другой – с точкой х = [pic].
Рис. 2.1.
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с абсциссой х в момент
t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е.
количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу
времени, определяется формулой
[pic] (1)
где S – площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент
теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами х1
и х2 (х2 – х1 = [pic]х). Количество тепла, прошедшего через сечение с
абсциссой х1 за время [pic]t, будет равно
[pic] (2)
то же самое с абсциссой х2:
[pic] (3)
Приток [pic]Q1 - [pic]Q2 в элемент стержня за время [pic]t будет
равняться:
[pic] (4)
Этот приток тепла за время [pic]t затратился на повышение температуры
элемента стержня на величину [pic]u:
[pic]
или
[pic] (5)
где с – теплоемкость вещества стержня, [pic] – плотность вещества стержня
([pic][pic]xS – масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла
[pic], получим:
[pic]
Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности)
в однородном стержне.
Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция u (x, t)
должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям
задачи. Краевые условия для решени
| |  скачать работу |
Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов |
