Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
Другие рефераты
ВВЕДЕНИЕ
Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается
математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в
знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.
Классические уравнения математической физики являются линейными.
Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения,
то функция (U + (V при любых постоянных ( и ( снова является решением. Это
обстоятельство позволяет построить общее решение линейного
дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных
решений и упрощает теорию этих уравнений.
Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным
образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений.
Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных выступает численное интегрирование.
Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных
физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике,
теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом
математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет
математической физики.
Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с
изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так,
например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный
характер и требуют применения различных математических методов.
Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк.
В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к
уравнениям с частными производными.
Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение
каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих
к уравнениям рассматриваемого типа.
Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.
Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа
наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами
колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа
[pic]
называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит
рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний
стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала,
колебаний газа и т.д.
1.1.1. Уравнение колебаний струны.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.
Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по
касательной к ее профилю. Пусть струна длины [pic] в начальный момент
направлена по отрезку оси Оx от 0 до [pic]. Предположим, что концы струны
закреплены в точках [pic]. Если струну отклонить от ее первоначального
положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать
в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и
придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать
движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в
определении формы струны в любой момент времени и определении закона
движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального
положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны
происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом
предположении процесс колебания струны описывается одной функцией [pic],
которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
Рис. 1.1.
Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости [pic], то
будем предполагать, что длина элемента струны [pic] равняется ее проекции
на ось Ox, т.е. [pic].1 Также будем предполагать, что натяжение во всех
точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны [pic].
Рис. 1.2.
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть
касательные образуют с осью Ox углы [pic]. Тогда проекция на ось Ou сил,
действующих на элемент [pic], будет равна [pic]. Так как угол [pic] мал, то
можно положить [pic], и мы будем иметь:
[pic]
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных
скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к
элементу, приравнять силе инерции. Пусть [pic] - линейная плотность струны.
Тогда масса элемента струны будет [pic]. Ускорение элемента равно [pic].
Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
[pic].
Сокращая на [pic] и обозначая [pic], получаем уравнение движения
[pic]. (1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного
определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая
функция [pic] должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что
делается на концах струны [pic], и начальным условиям, описывающим
состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и
начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при [pic]
неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:
[pic] (2’)
[pic] (2’’)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.
В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей
придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно
быть
[pic] (3’)
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке
струны, которая определяется функцией [pic]. Таким образом, должно быть
[pic] (3’’)
Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.
Замечание. В частности, может быть [pic] или [pic]. Если же [pic] и
[pic], то струна будет находится в покое, следовательно, [pic].
1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.
Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об
электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе
характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят
от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода
[pic], можем написать, что падение напряжения на элементе [pic] равно
[pic]. Это падение напряжения складывается из омического, равного [pic], и
индуктивного, равного [pic]. Итак,
[pic] (4)
где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на
единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении,
обратном возрастанию v. Сокращая на [pic], получаем уравнение
[pic] (5)
Далее, разность токов, выходящего из элемента [pic] и входящего в него за
время [pic], будет
[pic]
Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic], и на утечку через
боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную
[pic] (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая
на [pic], получим уравнение
[pic] (6)
Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.
Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее
только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую
функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены
уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя
вычитание, получим:
[pic]
Подставляя в последнее уравнение выражение [pic] из уравнения (5), получим:
[pic]
или
[pic] (7)
Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):
[pic] (8)
Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то
уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:
[pic]
где обозначено: [pic]. Исходя из физических условий, формулируют граничные
и начальные условия задачи.
§1.2. Метод разделения переменных.
1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.
Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее
распространенных методов решения уравнений с частными производными.
Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны,
закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения
[pic]
удовлетворяющее однородным граничным условиям
[pic] (9)
и начальным условиям
[pic] (10)
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также
является решением этого уравнения.
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
