История доказательства Великой теоремы Ферма
им был австралиец Джон Коутс, профессор
из колледжа Эммануэля, живший у себя на родине в городке Посум Браш в Новом
Южном Уэльсе.
В последнее десятилетие все, что делал Уайлс, было направлено на подготовку
к решающей схватке с Великой теоремой Ферма, но теперь, когда он вступил в
ряды профессиональных математиков, ему приходилось быть более прагматичным.
Как вспоминает Уайлс, он был вынужден временно отказаться от своей мечты.
«Придя в Кембридж, я отложил Ферма в сторону. Не то, чтобы я забыл о
теореме — она всегда была со мной, но я вдруг осознал, что те методы,
которыми мы пытались доказать ее, существовали уже около 130 лет. По-
видимому, они не позволяли дойти до корней проблемы. Работая над
доказательством теоремы Ферма, вы могли потратить годы и остаться ни с чем.
Работать над любимой проблемой — одно удовольствие, пока получается
интересная математика, даже если проблему не удается решить к концу дня.
Хорошей математической проблемой по определению считается такая, которая
порождает хорошую математику. Важна математика, а не сама проблема».
Уайлс отказался от всего, что не было напрямую связано с доказательством
Великой теоремы Ферма. Он перестал принимать участие в нескончаемой
веренице конференций и симпозиумов. Оставаясь сотрудником математического
факультета Принстонского университета, Уайлс продолжал проводить учебные
семинары, читать лекции для студентов и руководить курсовыми и дипломными
работами.
С того самого момента, когда Уайлс принял важное для себя решение заняться
систематическим поиском доказательства гипотезы Таниямы–Шимуры, он
вознамерился работать в полной изоляции и секретности. В современной
математике сложилась культура кооперации и сотрудничества, поэтому принятое
Уайлсом решение могло бы показаться возвращением в прошлое. Он как бы
подражал образу действий самого Ферма, самому знаменитому из математических
отшельников. Свое решение работать в обстановке полной секретности Уайлс
отчасти объясняет желанием работать без помех, не отвлекаясь от основной
задачи: «Я понимал, что все, что имеет какое-то отношение к Великой теореме
Ферма, вызывает слишком большой интерес. Нельзя как следует сосредоточиться
на решении важной задачи, если полностью не отвлечься от всего
постороннего. Слишком много зрителей заведомо мешают достижению цели».
Еще одним мотивом избранного Уайлсом курса на уединение и секретность была
его жажда славы. Уайлс опасался, что когда он проделает основную часть
доказательства, но ему не будет доставать заключительного элемента
выкладок, весть о прорыве просочится наружу — и ничто не помешает какому-
нибудь сопернику из числа коллег-математиков воспользоваться проделанной
Уайлсом работой, завершить доказательство и похитить награду.
Чтобы не возбуждать подозрений, Уайлс придумал хитрую уловку, которая
должна была сбить его коллег со следа. В начале 80-х годов он выполнил
обширное исследование одного конкретного типа эллиптической кривой и уже
собрался было опубликовать его полностью, но открытия Рибета и Фрея
заставили его изменить свои намерения. Уайлс решил публиковать свое
исследование «по кусочкам», по одной небольшой статье каждые полгода. Это
должно было убедить его коллег в том, что он все еще продолжает заниматься
своими обычными исследованиями. И столько времени, сколько он сможет
поддерживать свою «дымовую завесу», Уайлс сможет продолжать без помех
заниматься предметом своей истинной страсти, не сообщая никому о полученных
результатах
После года размышлений Уайлс решил избрать за основу доказательства общий
метод, известный под названием индукции. Индукция — чрезвычайно мощный
способ доказательства, поскольку он позволяет математику доказать, что
утверждение справедливо для бесконечно многих случаев, доказав, что оно
справедливо только в одном случае.
«Однажды вечером, в конце лета 1986 года, я попивал чай в гостях у своего
приятеля. В беседе он между прочим упомянул о том, что Кену Рибету удалось
доказать существование взаимосвязи между гипотезой Таниямы–Шимуры и
доказательством Великой теоремы Ферма. Я почувствовал себя так, словно
через меня пропустили мощный электрический разряд. Мне сразу стало ясно,
что отныне весь ход моей жизни круто изменился: ведь от доказательства
Великой теоремы Ферма меня отделяло теперь только одно препятствие:
доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры. Значит, моя детская мечта — не
пустой звук, а вполне реальное дело, которым стоит заниматься. Не медля ни
минуты, я отправился домой и принялся за работу» - рассказывал Уайлс.
8 марта 1988 года Уайлс испытал шок, увидев на первых полосах газет
набранные крупным шрифтом заголовки, гласившие: «Великая теорема Ферма
доказана». Газеты «Washington Post» и «New York Times» сообщали, что
тридцативосьмилетний Иоичи Мияока из токийского Метрополитен университета
решил самую трудную математическую проблему в мире. Пока Мияока еще не
опубликовал свое доказательство, но в общих чертах изложил его ход на
семинаре в Институте Макса Планка по математике в Бонне. Дон Цагир,
присутствовавший на докладе Мияоки, выразил оптимизм математического
сообщества в следующих словах: «Представленное Мияокой доказательство
необычайно интересно, и некоторые математики полагают, что оно с высокой
вероятностью окажется правильным. Полной уверенности еще нет, но пока
доказательство выглядит весьма обнадеживающим».
Через две недели после своего выступления в Бонне Мияока опубликовал пять
страниц вычислений, составлявших суть его доказательства, и началась
тщательнейшая проверка. Специалисты по теории чисел и алгебраической
геометрии во всех странах мира изучали, строка за строкой, опубликованные
вычисления. Через несколько дней математики обнаружили в доказательстве
одно противоречие, которое не могло не вызывать беспокойства.
Еще через две недели Герд Фалтингс, проложивший путь Мияоке, объявил о том,
что обнаружил точную причину кажущегося нарушения — пробел в рассуждениях.
Японский математик был геометром и при переводе своих идей на менее
знакомую территорию теории чисел не был абсолютно строг. Армия специалистов
по теории чисел предприняла отчаянные усилия залатать прореху в
доказательстве Мияоки, но тщетно. Через два месяца после того, как Мияока
заявил о том, что располагает полным доказательством Великой теоремы Ферма,
математическое сообщество пришло к единодушному заключению: доказательство
Мияоки обречено на провал.
Уайлс, о котором мир тогда еще ничего не знал, с облегчением вздохнул.
Великая теорема Ферма по-прежнему оставалась непобежденной, и он мог
продолжать сражаться с ней, надеясь доказать ее с помощью гипотезы
Таниямы–Шимуры. Через три года непрекращающихся усилий, Уайлсу удалось
совершить ряд прорывов. Он применил к эллиптическим кривым группы Галуа,
рассматривая «образы» этих кривых в пространствах над арифметикой вычетов
по модулю степени простого числа. Тем самым, ему удалось сделать первый шаг
рассуждения по индукции.
В 1990 году Уайлс оказался в очень большом затруднении. На ее обследование
у него ушло почти два года. Перепробовав все известные к тому времени
методы и подходы, о которых говорилось в опубликованных работах, Уайлс
обнаружил, что все они не годятся для решения его проблемы. «Я был убежден,
что стою на правильном пути, хотя это отнюдь не означало, что мне
непременно удастся достичь поставленной цели. Методы, необходимые для
решения интересовавшей меня проблемы, могли оказаться лежащими за пределами
современной математики. Могло случиться и так, что методы, необходимые мне
для завершения доказательства, будут созданы лет через сто. Одним словом,
даже если я был на правильном пути, вполне могло оказаться, что я живу не в
том столетии».
Уайлс не пал духом и упорно продолжал работать над проблемой и весь
следующий год. Он начал изучать подход, известный под названием «теория
Ивасавы». Эта теория представляла собой метод анализа эллиптических кривых,
который Уайлс изучал в свои аспирантские годы в Кембридже под руководством
Джона Коутса. Хотя теория Ивасавы в своем первоначальном виде была
неприменима к интересовавшей Уайлса проблеме, но он надеялся, что ему
удастся нужным образом модифицировать ее.
К лету 1991 года Уайлс проиграл сражение: теорию Ивасавы не удалось
приспособить к решению проблемы. Он снова обратился к научным журналам и
монографиям, но все же не смог найти альтернативный метод, который позволил
бы ему осуществить необходимый прорыв. Последние пять лет Уайлс жил в
Принстоне как отшельник, но теперь он решил, что настало время вернуться в
круговорот научной жизни и познакомиться с последними математическими
слухами.
«В тот год я очень упорно работал, но оказалось, метод, который я пытался
применить и усовершенствовать, сопряжен с необычайно тонкой техникой,
которой я по-настоящему не владел. Было необходимо проделать колоссальный
объем довольно трудных вычислений, для выполнения которых мне нужно было
выучить много нового.
В начале января 1993 года я решил, что мне необходимо довериться кому-
нибудь, кто разбирается в той геометрической технике, которую я изобрел для
расчетов. Эксперта я выбирал очень тщательно: ведь мне предстояло доверить
ему свою тайну, и я должен был быть уверен в том, что он не разгласит ее. Я
решил рассказать обо всем Нику Катцу».
Профессор Ник Катц также работал на математическом факультете Принстонского
университета и знал Уайлса несколько лет. Все, что сделал Уайлс, было
открытием, и Катцу пришлось основательно подумать над тем, как лучше
осуществить проверку.
По завершении проверки, Уайлс сосредоточил все свои усилия на завершении
доказательства. И вот, после семи лет работы в одиночку Уайлс наконец
завершил доказательство гипотезы Таниямы–Шимуры и считал,
| |  скачать работу |
История доказательства Великой теоремы Ферма |
