Комплексные числа
c]= r и аргумент ( следующим образом:
A= r(cos( ; B= r(sin(.
Число Z можно записать так:
Z= r(cos(+ i([pic](sin( = r((cos( + i(sin()
Z = r((cos( + i(sin() (2)
Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа.
r =[pic]– модуль комплексного числа.
Число ( называют аргументом комплексного числа.
Аргументом комплексного числа Z[pic]0 называется величина угла между
положительным направлением действительной оси и вектором Z, причем величина
угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и
отрицательной, если производится по часовой стрелке.
Для числа Z=0 аргумент не определяется, и только в этом случае число
задается только своим модулем.
Как уже говорилось выше [pic]= r =[pic], равенство (2) можно записать в
виде
A+B(i=[pic](cos( + i([pic](sin(, откуда приравнивая действительные и
мнимые части, получим:
cos( =[pic], sin( =[pic] (3)
Если sin( поделить на cos( получим:
tg(=[pic] (4)
Эту формулу удобней использовать для нахождения аргумента (, чем
формулы (3). Однако не все значения (, удовлетворяющие равенству (4),
являются аргументами числа A+B(i . Поэтому при нахождении аргумента нужно
учесть, в какой четверти расположена точка A+B(i.
7.СВОЙСТВА МОДУЛЯ И АРГУМЕНТА
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
С помощью тригонометрической формы удобно находить произведение и
частное комплексных чисел.
Пусть Z1= r1((cos(1 + i(sin(1), Z2 = r2((cos(2 + i(sin(2). Тогда:
Z1Z2= r1(r2[cos(1(cos(2 – sin(1(sin(2 + i(( sin(1(cos(2 +
cos(1(sin(2)]=
= r1(r2[cos((1 + (2) + i(sin((1 + (2)].
Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в
тригонометрической форме, можно находить по формуле:
Z1Z2= r1(r2[cos((1 + (2) + i(sin((1 + (2)] (5)
Из формулы (5) следует, что при умножении комплексных чисел их модули
перемножаются, а аргументы складываются.
Если Z1=Z2 то получим:
Z2=[r((cos( + i(sin()]2= r2((cos2( + i(sin2()
Z3=Z2(Z= r2((cos2( + i(sin2()(r((cos( + i(sin()=
= r3((cos3( + i(sin3()
Вообще для любого комплексного числа Z= r(( cos( + i(sin()[pic]0 и
любого натурального числа n справедлива формула:
Zn =[ r((cos( + i(sin()]n= rn(( cosn(+ i(sinn(), (6)
которую называют формулой Муавра.
Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме,
можно находить по формуле:
[pic][pic][pic][ cos((1 – (2) + i(sin((1 – (2)]. (7)
[pic]= [pic]= cos(–(2) + i(sin(–(2)
Используя формулу 5
[pic](cos(1 + i(sin(1)(( cos(–(2) + i(sin(–(2)) =
cos((1 – (2) + i(sin((1 – (2).
Пример 3:
Z3 = –8
Число –8 запишем в тригонометрической форме
8 = 8(( cos(( + 2(() + i·sin(( + 2(()), (((
Пусть Z = r((cos( + i(sin(), тогда данное уравнение запишется в виде:
r3((cos3( + i(sin3() = 8(( cos(( + 2(() + i·sin(( + 2(()), (((
Тогда 3( =( + 2((, (((
( = [pic], (((
r3 = 8
r = 2
Следовательно:
Z = 2(( cos([pic]) + i·sin([pic])), (((
( = 0,1,2...
( = 0
Z1 = 2(( cos[pic] + i·sin[pic]) = 2(([pic]i) = 1+[pic](i
( = 1
Z2 = 2(( cos([pic] + [pic]) + i·sin([pic] + [pic])) = 2(( cos( + i·sin() =
–2
( = 2
Z3 = 2(( cos([pic] + [pic]) + i·sin([pic] + [pic])) = 2(( cos[pic] +
i·sin[pic]) = 1–[pic](i
Ответ: Z13 =
[pic]; Z2 = –2
Пример 4:
Z4 = 1
Число 1 запишем в тригонометрической форме
1 = 1(( cos(2(() + i·sin(2(()), (((
Пусть Z = r((cos( + i(sin(), тогда данное уравнение запишется в виде:
r4((cos4( + i(sin4() = cos(2(() + i·sin(2(()), (((
4( = 2((, (((
( = [pic], (((
r4 = 1
r = 1
Z = cos [pic]+ i(sin[pic]
( = 0,1,2,3...
( = 0
Z1 = cos0+ i(sin0 = 1 + 0 = 1
( = 1
Z2 = cos [pic]+ i(sin[pic] = 0 + i = i
( = 2
Z3 = cos( + i·sin( = –1 + 0 = –1
( = 3
Z4 = cos [pic]+ i(sin[pic]
Ответ: Z13 = [pic]1
Z24 = [pic] i
8.ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ И ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ
Из формулы 6 видно, что возведение комплексного числа r(( cos( +
i(sin() в целую положительную степень с натуральным показателем его модуль
возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на
показатель степени.
[ r((cos( + i(sin()]n= rn(( cos n( + i(sin n()
Число Z называется корнем степени n из числа ( ( обозначается [pic]),
если Zn =(.
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения Zn = (
является корнем степени n из числа (. Другими словами, для того, чтобы
извлечь корень степени n из числа (, достаточно решить уравнение Zn = (.
Если (=0, то при любом n уравнение Zn = ( имеет только одно решение Z= 0.
Если ([pic]0, то и Z[pic]0, а, следовательно, и Z и ( можно представить в
тригонометрической форме
Z = r((cos( + i(sin(), ( = p((cos( + i(sin()
Уравнение Zn = ( примет вид:
rn(( cos n( + i(sin n() = p(( cos( + i(sin()
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их
модули, а аргументы отличаются слагаемыми, кратными 2(. Следовательно, rn
= p и n( = ( + 2(k, где k(( или r = [pic] и ( = [pic], где k((.
Итак, все решения могут быть записаны следующим образом:
ZK=[pic][cos([pic]) + i(sin([pic])], k(( (8)
Формулу 8 называют второй формулой Муавра.
Таким образом, если ([pic]0, то существует ровно n корней степени n из
числа (: все они содержатся в формуле 8. Все корни степени n из числа (
имеют один и тот же модуль [pic], но разные аргументы, отличающиеся
слагаемым, кратным числу [pic]. Отсюда следует, что комплексные числа,
являющиеся корнями степени n из комплексного числа (, соответствует точкам
комплексной плоскости, расположенным в вершинах правильного n –
угольника, вписанного в окружность радиуса [pic] с центром в точке Z = 0.
Символ [pic] не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его,
следует четко представлять себе, что под этим символом подразумевается.
Например, используя запись [pic], следует подумать о том, чтобы было ясно,
понимается под этим символом пара комплексных чисел i и –i, или одно, то
какое именно.
Уравнения высших степеней
Формула 8 определяет все корни двучленного уравнения степени n.
Неизмеримо сложнее обстоит дело в случае общего алгебраического уравнения
степени n:
an(Zn + an–1(Zn–1 +...+ a1(Z1 + a0 = 0 (9)
Где an,..., a0 – заданные комплексные числа.
В курсе высшей математики доказывается теорема Гаусса: каждое
алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайней
мере один корень. Эта теорема была доказана немецким математиком Карлом
Гауссом в 1779 году.
Опираясь на теорему Гаусса, можно доказать, что левая часть уравнения 9
всегда может быть представлена в виде произведения:
[pic],
Где Z1, Z2,..., ZK – некоторые различные комплексные числа,
а a1,a2,...,ak – натуральные числа, причем:
a1 + a2 + ... + ak = n
Отсюда следует, что числа Z1, Z2,..., ZK являются корнями уравнения 9.
При этом говорят, что Z1 является корнем кратности a1, Z2 – корнем
кратности a2 и так далее.
Если условиться считать корень уравнения столько раз, какова его
кратность, то можно сформулировать теорему: каждое алгебраическое уравнение
степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n корней.
Теорема Гаусса и только что сформулированная теорема дают решения о
существовании корней, но ничего не говорят о том, как найти эти корни. Если
корни первой и второй степени могут быть легко найдены, то для уравнений
третей и четвертой степеней формулы громоздки, а для уравнений степени выше
четвертой таких формул вообще не существует. Отсутствие общего метода не
мешает отыскивать все корни уравнения. Для решения уравнения с целыми
коэффициентами часто оказывается полезной следующая теорема: целые корни
любого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами являются
делителями свободного члена.
Докажем эту теорему:
Пусть Z = k – целый корень уравнения
an(Zn + an–1(Zn–1 +...+ a1(Z1 + a0 = 0
с целыми коэффициентами. Тогда
an(kn + an–1(kn–1 +...+ a1(k1 + a0 = 0
a0 = – k(an(kn–1 + an–1(kn–2 +...+ a1)
Число в скобках, при сделанных предположениях, очевидно, целое, значит
k – делитель числа a0.
9.КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ С КОМПЛЕКСНЫМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Рассмотрим уравнение Z2 = a, где a – заданное действительное число,
Z – неизвестное.
Это уравнение:
имеет один корень, если a = 0.
имеет два действительных корня Z1,2=[pic], если a > 0.
не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных
корня.
Запишем число a в виде a = (– 1)((– a) = i2([pic]= i2(([pic])2. Тогда
уравнение Z2 = a запишется в виде: Z2 –
i2(([pic])2 = 0
т.е. (Z – i([pic])(Z +
i([pic]) = 0
Следовательно, уравнение имеет два корня: Z1,2 = [pic] i([pic]
Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать
корни любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами
| |  скачать работу |
Комплексные числа |
