Кривые третьего и четвертого порядка
Другие рефераты
1. Особенности формы. Декартовым листом называется кривая 3-го порядка,
уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид
[pic] (1)
Иногда удобно пользоваться параметрическими уравнениями декартова листа,
которые можно получить, полагая y=tx, присоединяя к этому равенству
равенство (1) и решая полученную систему относительно х и у, в результате
будем иметь:
|[pic] |(2) |
откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.
Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид
[pic] (3)
Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда
следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х. Обычное
исследование на особые точки приводит к заключению, что начало координат
является узловой точкой декартова листа. Уравнения касательных к
алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей с началом координат,
можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей степени
из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда получим х
= 0 и у = 0 – искомые уравнения касательных в узловой точке. Эти
касательные совпадают с координатными осями и, следовательно, в начале
координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что в
первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с прямой
у = х в точке
[pic]
Точки этой петли, в которых касательные параллельны координатным осям,
имеют координаты
[pic] и [pic] (cм. рис. 1)
Для окончательного заключения о форме кривой следует еще найти
асимптоту[pic] Заменяя в уравнении кривой у на [pic] приравняем нулю в
полученном уравнении коэффициенты двух членов с высшими степенями х.
Получим [pic]
[pic]и b = - а. Таким образом, декартов лист имеет асимптоту
у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви декартова
листа уходят в бесконечность.
[pic]
Рис. 1
2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех точках алгебраической
кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести касательные к этой
кривой, то точки их пересечения с кривой будут лежать также на прямой
линии. Применительно к декартову листу эта теорема доказывается просто.
Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек декартова
листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра, на одной прямой.
Если уравнение прямой имеет вид y=kx+b, то значения параметра,
соответствующие точкам пересечения этой прямой с кривой, должны
удовлетворять системе
[pic]
Система эта приводит к уравнению
[pic]
корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и t3 параметра, откуда
следует, что
[pic] (4)
Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2), М3
(t3) декартова листа на одной прямой.
Располагая этим условием, покажем справедливость теоремы Маклорена для
декартово листа. Действительно, касательную в точке M1 (t1) можно
рассматривать как прямую, которая пересекает декартов лист в двух
совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в третьей точке, для
которой соответствующее значение параметра обозначим через T1. Условие (4)
примет вид t12 T1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим аналогичные
соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. Перемножая эти три равенства, будем
иметь
(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T1T2T3 = -1,
т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.
Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:
[pic]
3. Способ построения. Заметим предварительно, что если ось симметрии
декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид
[pic] (5)
Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке
[pic]
и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку Q этой окружности и проведем
прямую QA и прямую QN, перпендикулярную к оси абсцисс (рис. 2). Из точки
пересечения R прямой QA с прямой х= -h проводим прямую RO до пересечения
ее в точке Q1 с прямой QN. Таким образом, точке Q на окружности будет
поставлена в соответствие точка Q1. Геометрическое место точек Q1
представляет собой декартов лист.
[pic]
Рис 2.
Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде
[pic]
угол, составляемый радиусом круга, проведенным в точку Q, с положительным
направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение прямой QA может
быть записано в виде
[pic]
Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату
[pic]
точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ1 запишется в виде
[pic] (6)
В то же время уравнение прямой Q1N имеет вид
[pic] (7)
Исключая из уравнений (6) и (7) параметр w, находим уравнение
геометрического места точек Q1 в виде
[pic]
Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем, что найденное геометрическое
место точек является декартовым листом.
Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осуществляемое при
таком его построении, называется преобразованием Маклорена.
4. Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная
впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в
1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на
абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда,
построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой
устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой,
однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю
в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с
четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина»,
однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты была
определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист»
прочно установилось только с начала 18 века.
Циссоида Диоклеса
1. Особенности формы. Среди многих способов образования циссоиды—кривой,
открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении куба, мы
остановимся сначала на простейшем. Возьмем окружность (называемую
производящей) с диаметром ОА=2а и касательную АВ к ней. Через точку О
проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС. Построенная таким образом
точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол и проделав
указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).
Если точку О принять за полюс, то [pic] но [pic] откуда получаем полярное
уравнение циссоиды
[pic] (1)
Пользуясь формулами перехода от полярных координат к декартовым, найдем
уравнение циссоиды в прямоугольной системе:
[pic] (2)
Параметрические уравнения циссоиды можно получить, полагая x=ty, тогда,
на основании уравнения (2), придем к системе
[pic]
[pic]
Рис. 3
Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической кривой 3-го
порядка, а из уравнений (3) следует, что она является рациональной кривой.
Циссоида симметрична относительно оси абсцисс, имеет бесконечные ветви;
касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит для нее
асимптотой; начало координат является точкой возврата 1-го рода.
2. Свойства. Кинематически циссоида может быть получена как траектория
середины М катета ВС треугольника АВС, передвигающегося в плоскости чертежа
так, что его вершина В скользит по оси ординат, а другой катет АС всегда
проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)
Действительно, обозначив середину отрезка ОЕ через D, замечаем, что
поскольку ВС=ЕО, ( ВСЕ=( ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ, и, следовательно, (
NBE— равнобедренный, а так как ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то отрезок DM параллелен
отрезку BE. Пусть, далее, точка К есть точка пересечения с продолжением
отрезка DM прямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс. Опишем
окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем к
ней касательную во второй точке пересечения с прямой ЕО. Она пройдет,
очевидно, через точку К. Обозначив точку пересечения прямой DMK с
окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между собой.
Из равенства их следует, что DF=MK, а значит, и DM=FK. Последнее равенство
и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.
Другие способы образования циссоиды основаны на ее соотношениях с
параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида является подэрой параболы
относительно ее вершины.
[pic] – уравнение данной параболы. Уравнение касательной в произвольной
точке М ((, () этой параболы можно записать в виде [pic] уравнение
перпендикуляра, опущенного из
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
