Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Кривые третьего и четвертого порядка



 Другие рефераты
Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента Кривые и поверхности второго порядка Критерии устойчивости линейных систем Линейная Алгебра. Теория групп

1. Особенности формы. Декартовым  листом  называется  кривая  3-го  порядка,
уравнение которой в прямоугольной системе имеет вид
                            [pic]            (1)
Иногда удобно пользоваться  параметрическими  уравнениями  декартова  листа,
которые  можно  получить,  полагая  y=tx,  присоединяя  к  этому   равенству
равенство (1) и решая полученную систему относительно х и  у,  в  результате
будем иметь:
|[pic]                                |(2)                                  |

откуда следует, что декартов лист является рациональной кривой.
Заметим еще, что полярное уравнение декартова листа имеет вид
                            [pic]            (3)
Координаты х и у входят в  уравнение  декартова  листа  симметрично,  откуда
следует,  что  кривая  симметрична  относительно  биссектрисы  у=х.  Обычное
исследование на особые точки приводит к  заключению,  что  начало  координат
является  узловой  точкой   декартова   листа.   Уравнения   касательных   к
алгебраической кривой в ее особой точке, совпадающей  с  началом  координат,
можно получить, как известно, приравнивая нулю группу членов низшей  степени
из уравнения этой кривой. В нашем случае имеем З аху = 0, откуда  получим  х
= 0  и  у  =  0  –  искомые  уравнения  касательных  в  узловой  точке.  Эти
касательные совпадают с  координатными  осями  и,  следовательно,  в  начале
координат кривая пересекает сама себя под прямым углом. Легко видеть, что  в
первом координатном угле кривая делает петлю, которая пересекается с  прямой
у = х в точке
                                    [pic]
Точки этой петли,  в  которых  касательные  параллельны  координатным  осям,
имеют координаты
                        [pic]   и  [pic] (cм. рис. 1)
Для  окончательного  заключения   о   форме   кривой   следует   еще   найти
асимптоту[pic] Заменяя в уравнении кривой  у  на  [pic]  приравняем  нулю  в
полученном  уравнении  коэффициенты  двух  членов  с  высшими  степенями  х.
Получим [pic]
[pic]и b = - а. Таким образом, декартов  лист имеет асимптоту
у = — х — а; следовательно, во 2-м и 4-м координатных углах ветви  декартова
листа уходят в бесконечность.
                                    [pic]
                                   Рис. 1
2. Свойства. Согласно теореме Маклорена, если в трех  точках  алгебраической
кривой 3-го порядка, лежащих на одной прямой, провести  касательные  к  этой
кривой, то точки их пересечения  с  кривой  будут  лежать  также  на  прямой
линии. Применительно к декартову  листу  эта  теорема  доказывается  просто.
Выведем с этой целью предварительно условие пребывания трех точек  декартова
листа, соответствующих значениям t1 , t2 и t3 параметра,  на  одной  прямой.
Если  уравнение  прямой   имеет   вид   y=kx+b,   то   значения   параметра,
соответствующие  точкам   пересечения   этой   прямой   с   кривой,   должны
удовлетворять системе
                                    [pic]
Система эта приводит к уравнению
                                    [pic]
корни которого и будут искомыми значениями t1 , t2 и  t3  параметра,  откуда
следует, что
                               [pic]       (4)
Это равенство и является условием пребывания трех точек M1(t1 ), M2(t2),  М3
(t3) декартова листа на одной прямой.
Располагая этим  условием,  покажем  справедливость  теоремы  Маклорена  для
декартово  листа.  Действительно,  касательную  в  точке   M1   (t1)   можно
рассматривать  как  прямую,  которая  пересекает  декартов   лист   в   двух
совпадающих между собой точках, для которых t2=t1, и в  третьей  точке,  для
которой соответствующее значение параметра обозначим через T1.  Условие  (4)
примет вид t12 T1= -1. Для касательных в точках М2 и M3 получим  аналогичные
соотношения t22 T2 = -1 и t32 T3 = -1. Перемножая эти три  равенства,  будем
иметь
(t1t2t3)2T1T2T3 = -1. откуда на основании (4) заключаем, что и T1T2T3 =  -1,
т. е. точки N1(T1), N2(T2) и N3(T3) лежат на одной прямой.
Определяя площадь, ограниченную петлей декартова листа, получим:
                                    [pic]
3.  Способ  построения.  Заметим  предварительно,  что  если  ось  симметрии
декартова листа принять за ось абсцисс, то уравнение его примет вид
                            [pic]            (5)
Пусть теперь имеется окружность с радиусом r и центром в точке
                                    [pic]
и прямая х= -h. Возьмем произвольную точку  Q  этой  окружности  и  проведем
прямую QA и прямую QN, перпендикулярную к оси абсцисс  (рис.  2).  Из  точки
пересечения R прямой QA с прямой  х= -h проводим прямую  RO  до  пересечения
ее в точке Q1 с прямой QN.  Таким  образом,  точке  Q  на  окружности  будет
поставлена  в  соответствие  точка  Q1.  Геометрическое   место   точек   Q1
представляет собой декартов лист.
                                    [pic]
                                   Рис 2.
Для доказательства заметим, что координаты точки Q можно записать в виде
                                    [pic]
угол, составляемый радиусом круга, проведенным в точку  Q,  с  положительным
направлением оси абсцисс. В соответствии с этим уравнение  прямой  QA  может
быть записано в виде
                                    [pic]
Полагая в этом уравнении х= -h, находим ординату
                                    [pic]
точки R. Отсюда следует, что уравнение прямой RQ1  запишется в виде
                               [pic]       (6)
В то же время уравнение прямой Q1N имеет вид
                               [pic]       (7)
Исключая  из  уравнений  (6)   и   (7)   параметр   w,   находим   уравнение
геометрического места точек Q1 в виде
                                    [pic]
Сопоставляя его с уравнением (5), заключаем,  что  найденное  геометрическое
место точек является декартовым листом.
Преобразование точек окружности в точки декартова листа, осуществляемое  при
таком его построении, называется преобразованием Маклорена.
4. Историческая справка. Впервые  в  истории  математики  кривая,  названная
впоследствии декартовым листом, определяется в  письме  Декарта  к  Ферма  в
1638 г.  как  кривая,  для  которой  сумма  объемов  кубов,  построенных  на
абсциссе  и  ординате  каждой  точки,  равняется   объему   параллелепипеда,
построенного на абсциссе,  ординате  и  некоторой  константе.  Форма  кривой
устанавливается впервые Робервалем, который находит  узловую  точку  кривой,
однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту  петлю
в  четырех  квадрантах,  он  получает  фигуру,  напоминающую  ему  цветок  с
четырьмя  лепестками.  Поэтическое  название  кривой   «лепесток   жасмина»,
однако,  не  привилось.  Полная  форма  кривой  с  наличием  асимптоты  была
определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов  лист»
прочно установилось только с начала 18 века.

                              Циссоида Диоклеса

1. Особенности формы. Среди  многих  способов  образования  циссоиды—кривой,
открытой древними в поисках решения знаменитой задачи об удвоении  куба,  мы
остановимся  сначала   на   простейшем.   Возьмем   окружность   (называемую
производящей) с диаметром ОА=2а и  касательную  АВ  к  ней.  Через  точку  О
проведем луч ОВ и на нем отложим отрезок ОМ=ВС.  Построенная  таким  образом
точка М принадлежит циссоиде. Повернув луч 0В на некоторый угол  и  проделав
указанное построение, мы найдем вторую точку циссоиды, и т. д. (Рис. 3).
Если точку О принять за полюс, то [pic] но [pic]  откуда  получаем  полярное
уравнение циссоиды
                            [pic]            (1)
Пользуясь формулами перехода от  полярных  координат  к  декартовым,  найдем
уравнение циссоиды в прямоугольной системе:
                               [pic]       (2)
Параметрические    уравнения циссоиды можно получить, полагая  x=ty,  тогда,
на основании уравнения (2), придем к системе
                                    [pic]
                                    [pic]
                                   Рис. 3
Уравнение (2) показывает, что циссоида является алгебраической  кривой  3-го
порядка, а из уравнений (3) следует, что она является рациональной кривой.
Циссоида симметрична относительно  оси  абсцисс,  имеет  бесконечные  ветви;
касательная к производящей окружности, т. е. прямая х = 2а, служит  для  нее
асимптотой; начало координат является точкой возврата 1-го рода.
2. Свойства. Кинематически  циссоида  может  быть  получена  как  траектория
середины М катета ВС треугольника АВС, передвигающегося в плоскости  чертежа
так, что его вершина В скользит по оси ординат, а  другой  катет  АС  всегда
проходит через неподвижную точку Е на оси абсцисс. (Рис. 4)
Действительно,  обозначив  середину  отрезка  ОЕ  через  D,  замечаем,   что
поскольку ВС=ЕО, ( ВСЕ=( ВЕО, откуда /_ ВЕО = /_ СВЕ,  и,  следовательно,  (
NBE— равнобедренный, а так как  ЕD=ЕО/2=ВС/2=ВМ, то  отрезок  DM  параллелен
отрезку BE. Пусть, далее, точка К  есть  точка  пересечения  с  продолжением
отрезка DM прямой, проходящей через точку В параллельно оси абсцисс.  Опишем
окружность с центром в начале координат и радиусом, равным OD, и проведем  к
ней касательную во второй  точке  пересечения  с  прямой  ЕО.  Она  пройдет,
очевидно,  через  точку  К.  Обозначив  точку  пересечения  прямой   DMK   с
окружностью через F, заметим, что треугольники DOF и МВК равны между  собой.
Из равенства их следует, что DF=MK, а значит, и DM=FK.  Последнее  равенство
и показывает, что геометрическое место точек М будет циссоидой.
Другие  способы  образования  циссоиды  основаны  на   ее   соотношениях   с
параболой. Покажем в первую очередь, что циссоида является подэрой  параболы
относительно ее вершины.
[pic] – уравнение данной  параболы.  Уравнение  касательной  в  произвольной
точке М  ((,  ()  этой  параболы  можно  записать  в  виде  [pic]  уравнение
перпендикуляра, опущенного из
                
123
скачать работу


 Другие рефераты
Коллективизация
Восстание 1837—1847 гг. под руководством хана Кенесары
Факторинг и форфейтинг
Бағзыдан атажұрты бар қазақ көшпенді ме?


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ