Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента



 Другие рефераты
Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Краткая методичка по логике Кривые и поверхности второго порядка Кривые третьего и четвертого порядка

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала  введём
понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1.  Если  каждому  значению  независимого  переменного  t(T(R  ,
называемого  далее   скалярным   аргументом,   поставить    в   соответствие
единственный  вектор  r(t),  то  r(t)  называют  вектор-функцией  скалярного
аргумента.  Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O  называют  радиус-
векторм.
Пусть  в  геометрическом  (трёхмерном)  пространстве  задана   прямоугольная
декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k.  Тогда
представление

                        r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем  x(t),  y(t),
z(t) – действительные  функции одного действительного переменного t с  общей
областью  определения  T(R  ,  называемые  координатными  функциями  вектор-
функции r(t).


Понятие кривой


Введём теперь термин «кривой». Его строге  определение  связано  с  понятием
вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a,  b]  .
Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана  прямоугольная  декартова  система
координат Oxyz с  ртонормированным базисом {i,  j, k}.

Определение 2. Множество Г(R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i  +
y(t)j + z(t)k, t([a, b]   соответствующим  непрерывной  на  отрезке  [a,  b]
вектор-функции r(t)  называют  непрерывной  кривой,  или  просто  кривой,  а
аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t =  t0  (  [a,  b]   параметра  значения  x(t0),
y(t0), z(t0)  являются координатами точки  кривой.  Поэтому  одна  и  та  же
кривая может иметь как векторное так и координатное представление
                     Г = {r ( R3 : r = r(t), t([a, b] },
       Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }

Заданную таким  образом  кривую  называют  годографом  вектор-функции  r(t),
поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве  конец  вектора   при
изменении параметра t.
Кривую можно также представить как линию  пересечения  двух  поверхностей  с
уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав  за  параметр  одну  из
координат, можно через него попытаться выразить из  этой  системы  уравнений
остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

      Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  t([c, d] }.

Одной и  той  же  точке  кривой  могут  соответствовать  различные  значения
параметра t. Такие точки кривой называют её кратными  точками.  Начальной  и
конечной точками кривой называются точки  с  радиус-векторами  r(a)  и  r(b)
соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной  точкой,
то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую,  не  имеющую  кратных  точек
при t((a, b)  называют простым замкнутым контуром.

Определение 3.  Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость  xOy,  то  координатное
представление плоской кривой Г имеет вид:

      Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  t([a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
             Г = {(x; y) ( R2 : x = x(t), y = y(t), t([a, b] }.
.
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой  с
координатным представлением Г = {(x; y) ( R2 : x = x, y = f(x), x([c, d] }.
В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая  является
годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j   или   r(x)  =  xi  +  f(x)j
соответсвенно.


Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь  на  которое
и было дано строгое определение  кривой  и  её  частного  случая  –  плоской
кривой.  В  данном  пункте  дадим  определение  длины  дуги  и   найдём   её
дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M  (рис. 1) есть график  функции   y=f(x),  определённой
на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
 Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1,  M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1  Mi…Mn-
1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M  называется предел  (обозначим  его  через  s),  к  которому
стремится длина ломаной при  стремлении  к  нулю  наибольшей  длин  отрезков
ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора  точек
ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .
Найдём выражение дифференциала дуги.
Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть  M0(x0,
y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину  дуги  M0M
(рис.3).  При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет  меняться,  т.
е. s есть функция x. Найдём производную s по x.
Дадим x приращение (x. Тогда дуга  s  получит  приращение  (s  =  дл.  (MM1.
Пусть [pic] - хорда, стягивающая эту дугу.  Для  того  чтобы  найти   [pic],
поступим                         следующим                          образом:

 Из  (MM1Q  находим [pic]= ((x)2  +((y)2.        Умножим  и  разделим  левую
часть на(s2:
                                    [pic]
Разделим все члены равенства на (x2:
                                    [pic]
Найдём предел левой и правой частей при (x(0. Учитывая, что [pic]  и  [pic],
получим     [pic]
Для дифференциала дуги получим следующее выражение:
                             [pic]  или   [pic]

Мы получили выражение дифференциала  дуги  для  того  случая,  когда  кривая
задана уравнением y=f(x). Но эта же формула  сохраняется  и  в  том  случае,
когда кривая задана параметрически:
                           [pic]             [pic]

и выражение принимает вид: [pic].


Кривизна


Первая  производная  функции   даёт  нам  простейшую  характеристику   линии
y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана  с  другой
количественной характеристикой  этой  линии,  с  так  называемой  кривизной,
устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет  определённую
касательную в каждой точке. Проведём касательные  к  кривой  в  каких-нибудь
двух её точках А  и  В  и  обозначим  через   (   угол,  образованный  этими
касательными, или – точнее -  угол  поворота  касательной  при  переходе  от
точки А к точке В (рис. 4).  Этот  угол  называется  углом  смежности.  Угол
смежности в некоторой  степени  даёт  представление  о  степени  изогнутости
дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута  та,  у  которой
угол смежности больше (рис. 5,4).
                [pic]рис. 4                      [pic]рис. 5
Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла  смежности  к
длине соответствующей дуги.
Определение  4.   Средней  кривизной  Кср  дуги  (АВ  называется   отношение
соответствующего угла смежности ( к длине дуги:
                                    [pic]
Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей  (дуг)  может
быть различной; так, например, для кривой (см. рис.  6)    средняя  кривизна
дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 ,  хотя  длины  этих  дуг  равны
между собой.
 Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для  того
чтобы   охарактеризовать   степень    искривлённости    данной    линии    в
непосредственной близости к  данной  точке  А,  введём  понятие  кривизны  в
данной точке.
Определение5.  Кривизной  Ка  линии  в  данной  точке  А  называется  предел
средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:
                                    [pic]


Вычисление кривизны


Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x,
y).  При этом  будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе
координат уравнением вида  y=f(x)  и что функция имеет непрерывную вторую
производную.
Проведём касательные к кривой в точках  M и M1 с абсциссами   x  и  x+(x и
обозначим через  ( и (+((  углы наклона этих касательных (рис.7).
Длину дуги (M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим
через s; тогда (s = (M0M1 -  (M0M, а((s( = (MM1.   Как видно из (рис. 7),
угол смежности, соответствующий дуге  (MM1   равен абсолютной величине
разности углов  (   и  (+((, то есть равен ((((.
 Согласно определению средней кривизны кривой на участке  (MM1  имеем [pic].

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения
при условии, что длина дуги (MM1 стремится к нулю: [pic]
Так как величины ( и s зависят от x, то, следовательно, (  можно
рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана
параметрически с помощью параметра x. Тогда
                            [pic]          [pic]

Для вычисления [pic] воспользуемся формулой дифференцирования функции,
заданной параметрически:    [pic].

Чтобы выразить производную  [pic]  через  функцию   y=f(x),   заметим,   что
[pic]  и, следовательно  [pic].

Дифференцируя по x последнее равенство,  получаем        [pic].
И так как             [pic], то

[pic],  и окончательно, так как [pic], получаем
                                   [pic].
Следовательно, в любой точке кривой,  где  существует  и  непрерывна  вторая
производная, можно вычислить кривизну по формулам.


Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=((t),  y=((t).  Тогда

                                [pic]   [pic]

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем
                                   [pic].


 Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида ( = f((). Запишем  формулы  перехода  от
полярных координат к декартовым: x = ( cos (, y = ( sin ( .

Если в эти формулы подставить вместо ( его выражение через (, то ес
123
скачать работу


 Другие рефераты
Готическое Искусство
Образ Платона Каратаева
Палаткасыз түнеуді ұйымдастыру
Доңыз, шошқа тұмауы


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ