Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента
Другие рефераты
Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала введём
понятие векторной функции скалярного аргумента.
Определение 1. Если каждому значению независимого переменного t(T(R ,
называемого далее скалярным аргументом, поставить в соответствие
единственный вектор r(t), то r(t) называют вектор-функцией скалярного
аргумента. Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O называют радиус-
векторм.
Пусть в геометрическом (трёхмерном) пространстве задана прямоугольная
декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k. Тогда
представление
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем x(t), y(t),
z(t) – действительные функции одного действительного переменного t с общей
областью определения T(R , называемые координатными функциями вектор-
функции r(t).
Понятие кривой
Введём теперь термин «кривой». Его строге определение связано с понятием
вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a, b] .
Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана прямоугольная декартова система
координат Oxyz с ртонормированным базисом {i, j, k}.
Определение 2. Множество Г(R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i +
y(t)j + z(t)k, t([a, b] соответствующим непрерывной на отрезке [a, b]
вектор-функции r(t) называют непрерывной кривой, или просто кривой, а
аргумент t - параметром кривой.
При фиксированном значении t = t0 ( [a, b] параметра значения x(t0),
y(t0), z(t0) являются координатами точки кривой. Поэтому одна и та же
кривая может иметь как векторное так и координатное представление
Г = {r ( R3 : r = r(t), t([a, b] },
Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }
Заданную таким образом кривую называют годографом вектор-функции r(t),
поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве конец вектора при
изменении параметра t.
Кривую можно также представить как линию пересечения двух поверхностей с
уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав за параметр одну из
координат, можно через него попытаться выразить из этой системы уравнений
остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать
Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([c, d] }.
Одной и той же точке кривой могут соответствовать различные значения
параметра t. Такие точки кривой называют её кратными точками. Начальной и
конечной точками кривой называются точки с радиус-векторами r(a) и r(b)
соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной точкой,
то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую, не имеющую кратных точек
при t((a, b) называют простым замкнутым контуром.
Определение 3. Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость xOy, то координатное
представление плоской кривой Г имеет вид:
Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }.
причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
Г = {(x; y) ( R2 : x = x(t), y = y(t), t([a, b] }.
.
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой с
координатным представлением Г = {(x; y) ( R2 : x = x, y = f(x), x([c, d] }.
В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая является
годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j или r(x) = xi + f(x)j
соответсвенно.
Кривизна плоской кривой.
Длина дуги иеё производная.
В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь на которое
и было дано строгое определение кривой и её частного случая – плоской
кривой. В данном пункте дадим определение длины дуги и найдём её
дифференциал.
Пусть дуга кривой M0M (рис. 1) есть график функции y=f(x), определённой
на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1, M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-
1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M называется предел (обозначим его через s), к которому
стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей длин отрезков
ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора точек
ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .
Найдём выражение дифференциала дуги.
Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть M0(x0,
y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину дуги M0M
(рис.3). При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет меняться, т.
е. s есть функция x. Найдём производную s по x.
Дадим x приращение (x. Тогда дуга s получит приращение (s = дл. (MM1.
Пусть [pic] - хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти [pic],
поступим следующим образом:
Из (MM1Q находим [pic]= ((x)2 +((y)2. Умножим и разделим левую
часть на(s2:
[pic]
Разделим все члены равенства на (x2:
[pic]
Найдём предел левой и правой частей при (x(0. Учитывая, что [pic] и [pic],
получим [pic]
Для дифференциала дуги получим следующее выражение:
[pic] или [pic]
Мы получили выражение дифференциала дуги для того случая, когда кривая
задана уравнением y=f(x). Но эта же формула сохраняется и в том случае,
когда кривая задана параметрически:
[pic] [pic]
и выражение принимает вид: [pic].
Кривизна
Первая производная функции даёт нам простейшую характеристику линии
y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана с другой
количественной характеристикой этой линии, с так называемой кривизной,
устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет определённую
касательную в каждой точке. Проведём касательные к кривой в каких-нибудь
двух её точках А и В и обозначим через ( угол, образованный этими
касательными, или – точнее - угол поворота касательной при переходе от
точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности. Угол
смежности в некоторой степени даёт представление о степени изогнутости
дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та, у которой
угол смежности больше (рис. 5,4).
[pic]рис. 4 [pic]рис. 5
Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к
длине соответствующей дуги.
Определение 4. Средней кривизной Кср дуги (АВ называется отношение
соответствующего угла смежности ( к длине дуги:
[pic]
Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей (дуг) может
быть различной; так, например, для кривой (см. рис. 6) средняя кривизна
дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 , хотя длины этих дуг равны
между собой.
Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того
чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии в
непосредственной близости к данной точке А, введём понятие кривизны в
данной точке.
Определение5. Кривизной Ка линии в данной точке А называется предел
средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:
[pic]
Вычисление кривизны
Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x,
y). При этом будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе
координат уравнением вида y=f(x) и что функция имеет непрерывную вторую
производную.
Проведём касательные к кривой в точках M и M1 с абсциссами x и x+(x и
обозначим через ( и (+(( углы наклона этих касательных (рис.7).
Длину дуги (M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим
через s; тогда (s = (M0M1 - (M0M, а((s( = (MM1. Как видно из (рис. 7),
угол смежности, соответствующий дуге (MM1 равен абсолютной величине
разности углов ( и (+((, то есть равен ((((.
Согласно определению средней кривизны кривой на участке (MM1 имеем [pic].
Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения
при условии, что длина дуги (MM1 стремится к нулю: [pic]
Так как величины ( и s зависят от x, то, следовательно, ( можно
рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана
параметрически с помощью параметра x. Тогда
[pic] [pic]
Для вычисления [pic] воспользуемся формулой дифференцирования функции,
заданной параметрически: [pic].
Чтобы выразить производную [pic] через функцию y=f(x), заметим, что
[pic] и, следовательно [pic].
Дифференцируя по x последнее равенство, получаем [pic].
И так как [pic], то
[pic], и окончательно, так как [pic], получаем
[pic].
Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая
производная, можно вычислить кривизну по формулам.
Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.
Пусть кривая задана параметрически: x=((t), y=((t). Тогда
[pic] [pic]
Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем
[pic].
Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.
Пусть кривая задана уравнением вида ( = f((). Запишем формулы перехода от
полярных координат к декартовым: x = ( cos (, y = ( sin ( .
Если в эти формулы подставить вместо ( его выражение через (, то ес
| |  скачать работу |
Другие рефераты
|
