Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента



 Другие рефераты
Исчисления методами Лагранжа Рунге Кутта Ньютона и Гаусса Краткая методичка по логике Кривые и поверхности второго порядка Кривые третьего и четвертого порядка

Для более полного представления о кривизне плоской кривой для начала  введём
понятие векторной функции скалярного аргумента.

Определение 1.  Если  каждому  значению  независимого  переменного  t(T(R  ,
называемого  далее   скалярным   аргументом,   поставить    в   соответствие
единственный  вектор  r(t),  то  r(t)  называют  вектор-функцией  скалярного
аргумента.  Вектор r(t) с началом в фиксированной точке O  называют  радиус-
векторм.
Пусть  в  геометрическом  (трёхмерном)  пространстве  задана   прямоугольная
декартова система координат Oxyz с ортонормированным базисом i, j, k.  Тогда
представление

                        r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

является разложением радиус-вектора r(t) в этом базисе, причем  x(t),  y(t),
z(t) – действительные  функции одного действительного переменного t с  общей
областью  определения  T(R  ,  называемые  координатными  функциями  вектор-
функции r(t).


Понятие кривой


Введём теперь термин «кривой». Его строге  определение  связано  с  понятием
вектор-функции r(t), которую будем считать непрерывной на отрезке [a,  b]  .
Пусть в трёхмерном пространстве R3 задана  прямоугольная  декартова  система
координат Oxyz с  ртонормированным базисом {i,  j, k}.

Определение 2. Множество Г(R3 точек, заданных радиус-векторм r(t) = x(t)i  +
y(t)j + z(t)k, t([a, b]   соответствующим  непрерывной  на  отрезке  [a,  b]
вектор-функции r(t)  называют  непрерывной  кривой,  или  просто  кривой,  а
аргумент t - параметром кривой.

При фиксированном значении t =  t0  (  [a,  b]   параметра  значения  x(t0),
y(t0), z(t0)  являются координатами точки  кривой.  Поэтому  одна  и  та  же
кривая может иметь как векторное так и координатное представление
                     Г = {r ( R3 : r = r(t), t([a, b] },
       Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t), t([a, b] }

Заданную таким  образом  кривую  называют  годографом  вектор-функции  r(t),
поскольку именно такую кривую описывает в простарнстве  конец  вектора   при
изменении параметра t.
Кривую можно также представить как линию  пересечения  двух  поверхностей  с
уравнениями F1(x, y, z) = 0, F2(x, y, z) = 0. Выбрав  за  параметр  одну  из
координат, можно через него попытаться выразить из  этой  системы  уравнений
остальные координаты. Если это удастся сделать, то можно будет записать

      Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  t([c, d] }.

Одной и  той  же  точке  кривой  могут  соответствовать  различные  значения
параметра t. Такие точки кривой называют её кратными  точками.  Начальной  и
конечной точками кривой называются точки  с  радиус-векторами  r(a)  и  r(b)
соответственно. Если конечная точка кривой совпадает с её начальной  точкой,
то кривую называют замкнутой. Замкнутую кривую,  не  имеющую  кратных  точек
при t((a, b)  называют простым замкнутым контуром.

Определение 3.  Кривую, лежащую в некоторой плоскости называют плоской.
Если эта плоскость выбрана за координатную плоскость  xOy,  то  координатное
представление плоской кривой Г имеет вид:

      Г = {(x; y; z) ( R3 : x = x(t), y = y(t), z = z(t),  t([a, b] }.

причём равенство z=0 обычно опускают и пишут
             Г = {(x; y) ( R2 : x = x(t), y = y(t), t([a, b] }.
.
График непрерывной на отрезке [c, d] функции f(x) является плоской кривой  с
координатным представлением Г = {(x; y) ( R2 : x = x, y = f(x), x([c, d] }.
В этом случае роль параметра выполняет аргумент x . Плоская кривая  является
годографом радиус-вектора r(t) = x(t)i + y(t)j   или   r(x)  =  xi  +  f(x)j
соответсвенно.


Кривизна плоской кривой.

Длина дуги иеё производная.

В введении были рассмотрены понятия векторной функции, опираясь  на  которое
и было дано строгое определение  кривой  и  её  частного  случая  –  плоской
кривой.  В  данном  пункте  дадим  определение  длины  дуги  и   найдём   её
дифференциал.

Пусть дуга кривой M0M  (рис. 1) есть график  функции   y=f(x),  определённой
на интервале (a ,b). Определим длину дуги кривой.
 Возьмём на кривой АВ точки M0, M1, M2, … , Mi-1, Mi…, Mn-1,  M.
Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию M0 M1M2… Mi-1  Mi…Mn-
1M, вписанную в дугу M0 M. Обозначим длину этой ломаной линии через Pn.
Длиной дуги M0M  называется предел  (обозначим  его  через  s),  к  которому
стремится длина ломаной при  стремлении  к  нулю  наибольшей  длин  отрезков
ломанной Mi-1 Mi , если этот предел существует и не зависит от выбора  точек
ломаной M0 M1M2… Mi-1 Mi…Mn-1M .
Найдём выражение дифференциала дуги.
Пусть имеется на плоскости кривая, заданная уравнением y=f(x). Пусть  M0(x0,
y0)- некотрая фиксированная точка кривой. Обозначим через s длину  дуги  M0M
(рис.3).  При изменении абсциссы x точки М длина s дуги будет  меняться,  т.
е. s есть функция x. Найдём производную s по x.
Дадим x приращение (x. Тогда дуга  s  получит  приращение  (s  =  дл.  (MM1.
Пусть [pic] - хорда, стягивающая эту дугу.  Для  того  чтобы  найти   [pic],
поступим                         следующим                          образом:

 Из  (MM1Q  находим [pic]= ((x)2  +((y)2.        Умножим  и  разделим  левую
часть на(s2:
                                    [pic]
Разделим все члены равенства на (x2:
                                    [pic]
Найдём предел левой и правой частей при (x(0. Учитывая, что [pic]  и  [pic],
получим     [pic]
Для дифференциала дуги получим следующее выражение:
                             [pic]  или   [pic]

Мы получили выражение дифференциала  дуги  для  того  случая,  когда  кривая
задана уравнением y=f(x). Но эта же формула  сохраняется  и  в  том  случае,
когда кривая задана параметрически:
                           [pic]             [pic]

и выражение принимает вид: [pic].


Кривизна


Первая  производная  функции   даёт  нам  простейшую  характеристику   линии
y=f(x), а именно её направление. Вторая производная тесно связана  с  другой
количественной характеристикой  этой  линии,  с  так  называемой  кривизной,
устанавливающей меру изогнутости или искривлённости линии.
Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает сама себя и имеет  определённую
касательную в каждой точке. Проведём касательные  к  кривой  в  каких-нибудь
двух её точках А  и  В  и  обозначим  через   (   угол,  образованный  этими
касательными, или – точнее -  угол  поворота  касательной  при  переходе  от
точки А к точке В (рис. 4).  Этот  угол  называется  углом  смежности.  Угол
смежности в некоторой  степени  даёт  представление  о  степени  изогнутости
дуги. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута  та,  у  которой
угол смежности больше (рис. 5,4).
                [pic]рис. 4                      [pic]рис. 5
Полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла  смежности  к
длине соответствующей дуги.
Определение  4.   Средней  кривизной  Кср  дуги  (АВ  называется   отношение
соответствующего угла смежности ( к длине дуги:
                                    [pic]
Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей  (дуг)  может
быть различной; так, например, для кривой (см. рис.  6)    средняя  кривизна
дуги АВ не равна средней кривизне дуги А1В1 ,  хотя  длины  этих  дуг  равны
между собой.
 Отметим, что вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для  того
чтобы   охарактеризовать   степень    искривлённости    данной    линии    в
непосредственной близости к  данной  точке  А,  введём  понятие  кривизны  в
данной точке.
Определение5.  Кривизной  Ка  линии  в  данной  точке  А  называется  предел
средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю:
                                    [pic]


Вычисление кривизны


Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой её точке M(x,
y).  При этом  будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе
координат уравнением вида  y=f(x)  и что функция имеет непрерывную вторую
производную.
Проведём касательные к кривой в точках  M и M1 с абсциссами   x  и  x+(x и
обозначим через  ( и (+((  углы наклона этих касательных (рис.7).
Длину дуги (M0M отсчитываемую от некоторой постоянной точки M0, обозначим
через s; тогда (s = (M0M1 -  (M0M, а((s( = (MM1.   Как видно из (рис. 7),
угол смежности, соответствующий дуге  (MM1   равен абсолютной величине
разности углов  (   и  (+((, то есть равен ((((.
 Согласно определению средней кривизны кривой на участке  (MM1  имеем [pic].

Чтобы получить кривизну в точке М, нужно найти предел полученного выражения
при условии, что длина дуги (MM1 стремится к нулю: [pic]
Так как величины ( и s зависят от x, то, следовательно, (  можно
рассматривать как функцию от s. Можно считать, что эта функция задана
параметрически с помощью параметра x. Тогда
                            [pic]          [pic]

Для вычисления [pic] воспользуемся формулой дифференцирования функции,
заданной параметрически:    [pic].

Чтобы выразить производную  [pic]  через  функцию   y=f(x),   заметим,   что
[pic]  и, следовательно  [pic].

Дифференцируя по x последнее равенство,  получаем        [pic].
И так как             [pic], то

[pic],  и окончательно, так как [pic], получаем
                                   [pic].
Следовательно, в любой точке кривой,  где  существует  и  непрерывна  вторая
производная, можно вычислить кривизну по формулам.


Вычисление кривизны линии, заданной параметрически.

Пусть кривая задана параметрически: x=((t),  y=((t).  Тогда

                                [pic]   [pic]

Подставляя полученные выражения в формулу 3, получаем
                                   [pic].


 Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах.

Пусть кривая задана уравнением вида ( = f((). Запишем  формулы  перехода  от
полярных координат к декартовым: x = ( cos (, y = ( sin ( .

Если в эти формулы подставить вместо ( его выражение через (, то ес
123
скачать работу


 Другие рефераты
Влияние углекислого газа
Развитие средств коммуникации слабовидящих глухих и слепоглухих детей и роль изобразительной деятельности и чтения в нем
Мозг и память человека: молекулярный аспект
Социальные трансферты


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ