Курс лекций по физике
, что ускорение направлено в сторону,
противоположную смещению. Изменение y, v, a с течением времени можно
представить так:
|t |y |v |a |
|0 |0 |?y0 |0 |
|T/4 |y0 |0 |– ?2 y0 |
|T/2 |0 |– ?y0 |0 |
|3T/4 |– y0 |0 |?2 y0 |
|T |0 |?y0 |0 |
Графически эти зависимости имеют вид:
Из таблицы и графика следует, что скорость имеет максимальные
значения, когда точка проходит положения равновесия, а ускорение
максимально в крайних положениях.
Сложение колебаний
Из теорий гармонического анализа известно, что любую периодическую
функцию f(x), имеющую период 2?, можно представить в виде
тригонометрического ряда:
[pic]
где a0, an, bn - коэффициенты этого ряда, определяемые по
формулам:
[pic]
Следовательно, любое сложное колебание можно представить как сумму
нескольких простых. Чтобы знать, как зависят параметры сложного колебания
от соотношения частот, амплитуд, фаз и направлений слагаемых колебаний,
рассмотрим наиболее простые случаи сложения гармонических колебаний.
1. Сложение двух колебаний одного направления.
а) сложение 2-х колебаний одинаковой частоты.
?1 = ?2 = ?, Т1 = Т2 = Т Уравнения колебаний отличаются только
начальной фазой и амплитудой и имеют вид:
[pic]
Представим оба колебания в виде векторов амплитуды Х01 и Х02,
Сложение векторов выполним графически.
Отложим от точки 0 под углом ?1 –
вектор Х01, под углом ?2 – вектор Х02.
Обе амплитуды вращаются с одинаковой
угловой скоростью и против часовой
стрелки. Следовательно, угол между
амплитудами остается постоянным, равным
(?2 – ?1). Вектор Х0 представляет
собой гармоническое колебание,
происходящее с той же частотой и
амплитудой |Х0|= |Х01+ Х02| и начальной
фазой ?. Из чертежа
[pic]
[pic]
Само результирующее колебание имеет вид:
[pic]
Важно заметить, что амплитуда результирующего колебания зависит от
разности фаз (?2 – ?1) слагаемых колебаний.
Она заключена в пределах:
[pic]
1) Если разность начальных фаз слагаемых колебаний, равна четному
числу ?, ?2 – ?1 = к? , то Х0 = Х01 + Х02, tg ? = tg
?1, ? = ?1, к = 0,1,2, …
Колебания однофазные и усиливают друг друга.
2) Если ?2 – ?1 = (2к+1)? , то Х0 = Х01 - Х02 , к = 0,1,2,…
следовательно колебания ослабляют друг друга
3) Если Х01 = Х02 , ?1 = ?2 = ? , ?2 = ?1
[pic]
Уравнение результирующего колебания имеет вид:
[pic][pic] – начальная фаза результирующего колебания.
Результирующее колебание гармоническое, отличающееся по фазе от
слагаемых колебаний на половину суммы их начальных фаз.
При ?1 – ?2 = 2к? , (к = 0,1,2,…) Х0 = 2Х01 – колебания усиливаются.
При ?1 – ?2 = (2к + 1)? , (к = 0,1,2,…) Х0 = 0 – колебания гасятся.
2. Биения.
Особый интерес представляет сложение колебаний одинакового направления
с одинаковыми амплитудами, имеющими (близкие) мало отличающиеся частоты.
Результирующее суммарное колебание имеет уравнение:
Полученное выражение представляет собой произведение 2-х гармонических
сомножителей с частотами [pic] и [pic].
Если ?1 мало отличается от ?2 , то частота [pic] имеет близкие значения
к ?1 и ?2 , а частота [pic] – будет очень мала, т.е. [pic]
Отсюда следует, что результирующее колебание можно рассматривать как
гармоническое колебательное движение, происходящее с круговой частотой
[pic] , периодом [pic] и амплитудой
[pic]
Причем амплитуда не остается постоянной, а медленно изменяется со
временем. Частота изменения амплитуды [pic] ,
а период амплитуды [pic]
[pic]
Такие колебания называются биениями. Биения - такие колебания,
амплитуда которых периодически возрастает и убывает по закону cos.
Максимальная амплитуда наблюдается, если фазы слагаемых колебаний
совпадают. Ясли эти колебания находятся в противофазе, то они гасят друг
друга.
Биения часто встречаются при сложении колебаний и широко используются
в радиотехнике.
2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1) Рассмотрим движение точки М1, участвующей одновременно в 2-х взаимно
перпендикулярных колебаниях, частоты которых ?1 и ?2 равны (?1 = ?2 = ?),
амплитуды соответственно а и в.
Колебательный процесс в этом случае описывается системой уравнений:
[pic]
где ? – угол сдвига фаз.
Для определения уравнения траектории движения точки из системы
уравнений исключим время. Из первого уравнения [pic]
Второе уравнение перепишем в виде:
[pic]
Подставив вместо sin ?t и cos ?t их значения будем иметь
уравнение движения
[pic]
Исследуем некоторые частные случаи.
а) при равенстве частот имеет место еще и равенство фаз, т.е. ? =
0.
Уравнение траектории имеет вид [pic]
Уравнение прямой, проходящей через начало координат под углом ?: [pic]
Смещение от начала координат определяется уравнением
[pic]
Т.к. уравнение слагаемых колебаний имеет вид
[pic]
Таким образом результирующее движение является гармоническим
колебанием.
б) составляющая колебания отличается по фазе на ?/2 . Уравнение
траектории имеет вид: [pic]
отсюда [pic]
- эллипс с плоскостями a и b.
При равенстве амплитуд траектории
представляют собой окружность.
2) При сложении взаимно перпендикулярных колебаний, частоты которых
кратны между собой, например ?1 : ?2 = 1/2 , 2/3 и т.д. = m/n ,
где m и n – целые числа, колеблющееся тело описывает сложные кривые (наз.
Фигурами Лисажу), форма которых определяется отношением частот складываемых
колебаний, их амплитудой и разностью фаз между ними
?1 : ?2 = 2 : 1 ?1 : ?2 =
3 : 2
?? = 0 ?? = ? / 2 ?? =
0 ?? = ? / 4
| |  скачать работу |
Курс лекций по физике |
